【算法】Mice and Cheese 老鼠和奶酪 Greedy

Mice and Cheese 老鼠和奶酪

问题描述：

有两只老鼠和 n 块不同类型的奶酪，每块奶酪都只能被其中一只老鼠吃掉。

下标为 i 处的奶酪被吃掉的得分为：

如果第一只老鼠吃掉，则得分为 reward1[i] 。
如果第二只老鼠吃掉，则得分为 reward2[i] 。
给你一个正整数数组 reward1 ，一个正整数数组 reward2 ，和一个非负整数 k 。

请你返回第一只老鼠恰好吃掉 k 块奶酪的情况下，最大 得分为多少。

reward1,reward2范围[1,100000] ,k范围[0,n] ,$reward1[i],reward2[i]$ 范围[1,1000]

分析

这是一个很有意思的问题，2只老鼠吃同一组奶酪得分不一定一样。而要求的是当A恰好吃掉k个奶酪后，最大的得分。
也就是当A恰好吃掉$k$个奶酪，B把剩余的$n-k$个都吃掉，在这样的情况下该得到的最大分数。
理论上，用$f[i]$表示A吃掉i个奶酪可以得到的最大分数，用$g[i]$表示B吃掉i个奶酪可以得到的最大分数,此时$f[k]+g[n-k]$应该会是最大分数，以这个模型来思考，并不能完整的覆盖所有的情况，因为在这2个函数中，可能会有重叠的奶酪。最安全的应该是A从$n$个奶酪中选$k$个后，B拿走剩余的$n-k$，所能得到的最大分。这个思路下，很明显是一个DFS，但是看到数据规模后，这个思路很快就放弃了。
以100000的规模下，最理想的时间复杂度就是$O(N)$，稍差的就是$O(NLogN)$。
所以模拟，暴力，DFS，可以洗洗睡了。
换个角度思考在不考虑限制的情况下，以一个奶酪来看，AB谁吃，这个决策最佳，很明显，当A的$reward1[i]>reward2[i]$,应该给A吃，通俗的说，谁得分高，谁吃。
用$F[i]$表示$A吃掉i奶酪得分-B吃掉i奶酪的得分$，当$F[i]>0$时，奶酪给A，一定优于给B，因此排序从大到小，所以选择最大的$k$个$F[i]$给A， 这个策略就是最佳的。因为F表示的是得分差，因此还需要计算B把所有奶酪都吃掉的得分，然后再加上$K$个$F[i]$。

代码

public int miceAndCheese(int[] reward1, int[] reward2, int k) {
        int ans = 0;
        int n = reward1.length;
        int[] diffs = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans += reward2[i];
            diffs[i] = reward1[i] - reward2[i];
        }
        Arrays.sort(diffs);
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            ans += diffs[n - i];
        }
        return ans;
    }
 

时间复杂度O(NlogN)

空间复杂度O(N)

Tag

Greedy Array Dynamic Programming