蒙特卡洛方法试验的一般过程和经典例子

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前言

蒙特卡洛方法是基于概率统计为基础的近似解求解方法，它是通过大量试验来使近似解逼近准确解，而大量的试验又是基于大数极限理论，试验越多，其解越精确，误差也就越小。下面分别讲述蒙特卡洛试验的解题步骤、实际使用中需要的注意点，最后给出一个最经典的例子（求值）作为本文的结束点。

蒙特卡洛方法（或试验）解题的步骤

1. 人为构造或描述问题的概率过程
2. 从已知概率分布中进行抽样（随机变量抽样）
3. 求各统计量的估计
4. 使用统计量的估计最终求近似解

在实际使用中需要的注意点

• 要列出所求问题相关的变量
• 把变量进行分类：随机变量和非随机变量，非随机变量又分为自变量和因变量
• 随机变量涉及了概率分布
• 通过随机变量和非随机变量构造所要求解的统计量
• 通过随机变量的抽样求统计量的估计值
• 使用估计值来替代统计量，从而求得问题的近似解
• 说明：蒙特卡洛方法中，必有随机变量和概率

实例（最经典pi值求解过程-浦丰氏问题）

在十九世纪后期，曾有很多人以任意投掷一根针到地面上，将针与地面上两条平行线相交的频率作为与该
两条平行线相交概率的近似值，然后根据这一概率的理论值求出圆周率 pi 的近似值。

说明：这里的相交不是延长线的相交，而是针与平行线接触，有交点。

首先我们来正确的描述和模拟这个问题#

这里我借用了文献上的图片：

变量说明：2a 表示两条平行线的距离，图中虚线是在两平行线的中间，即 a 的位置2l 是这根针的长度， l 是这个针的半长，x表示针中心位置到平行线的y轴坐标值，是针与平行线交叉角度

从图中所示，我们可以知道，平面上针的位置是由针中心的坐标位置 和 针与平行线的夹角决定的。任意投针，意味着 x 和  都是任意的（它们是随机变量）。 的范围为，x 的范围为。

此时相交的条件为：

随机变量 x 和  取值的随意性，说明它们是随机数，是在范围内的随机数，所以它们的分布密度分别为：

细心的读者可能已经发现， x 和  是相互独立的，并且都是服从各自区间上的均匀分布的随机变量。所以这二维随机变量的概率密度为

最后定义一个综合随机变量（用于计算概率的）

意思是相交则为 1，否则为 0

开始抽样和求估计值

如果投掷 N 次，那么相交的频率为

是相交概率的估计值。

而根据二维随机变量的概率计算公式来求相交概率是

通过估计值求解的近似值

于是就有

计算机模拟计算的结果

结论

蒙特卡洛试验的本质是用概率过程来描述问题，并且使得概率（或某个统计量）是这个解的某个参数，最后通过概率或统计量的估计值来计算这个解的近似值。最好的方式就是概率或统计量本身就是解的值。根据上述过程，我们注意到：用正确的概率模型来描述问题非常重要（就是用概率方式来描述），其次，分清随机变量其及服从的分布也是至关重要的一步，基本的关键点就是这些了。

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