《数值分析》课程设计题目以及要求
《数值分析》课程设计
要求：
(1) 3人一小组做一个设计题目，依次做下面的设计；
(2) 每小组推选一位同学参加答辩，答辩不通过者，成绩等级将视为不及格；
(3) 课程设计期间严格实行考勤记录，要求同学们到指定教室；
(4) 严格按照课程设计的要求提交课程设计论文；
(5) 论文于第十二周周五上午10:00点前以班为单位收齐后交到基础实验楼631，第十二周周五上午10：05进行答辩。
（完整课程设计以及ppt不共享，需要私聊）
题目（一）
1、考虑两点边值问题
容易知道它的精确解为
为了把微分方程离散，把区间等分，令，，得到差分方程
简化为
从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为
对，，，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析。改变，讨论同样问题。
题目（二）
2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑从120到130）
=；
对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
题目（三）
3、在房产估价的线性模型
中，分别表示税、浴室数目、占地面积、居住面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，代表房屋价格。现根据如下的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。
| 25.9 |
29.5 |
27.9 |
25.9 |
29.9 |
29.9 |
30.9 |
| 28.9 |
84.9 |
82.9 |
35.9 |
31.5 |
31.0 |
30.9 |
| 30.0 |
28.9 |
36.9 |
41.9 |
40.5 |
43.9 |
37.5 |
| 37.9 |
44.5 |
37.9 |
38.9 |
36.9 |
45.8 |
41.0 |
| 4.9176 |
1.0 |
3.4720 |
0.9980 |
1.0 |
7 |
4 |
42 |
3 |
1 |
0 |
| 5.0208 |
1.0 |
3.5310 |
1.5000 |
2.0 |
7 |
4 |
62 |
1 |
1 |
0 |
| 4.5429 |
1.0 |
2.2750 |
1.1750 |
1.0 |
6 |
3 |
40 |
2 |
1 |
0 |
| 4.5573 |
1.0 |
4.0500 |
1.2320 |
1.0 |
6 |
3 |
54 |
4 |
1 |
0 |
| 5.0597 |
1.0 |
4.4550 |
1.1210 |
1.0 |
6 |
3 |
42 |
3 |
1 |
0 |
| 3.8910 |
1.0 |
4.4550 |
0.9880 |
1.0 |
6 |
3 |
56 |
2 |
1 |
0 |
| 5.8980 |
1.0 |
5.8500 |
1.2400 |
1.0 |
7 |
3 |
51 |
2 |
1 |
1 |
| 5.6039 |
1.0 |
9.5200 |
1.5010 |
0.0 |
6 |
3 |
32 |
1 |
1 |
0 |
| 15.4202 |
2.5 |
9.800 |
3.4200 |
2.0 |
10 |
5 |
42 |
2 |
1 |
1 |
| 14.4598 |
2.5 |
12.8000 |
3.000 |
2.0 |
9 |
5 |
14 |
4 |
1 |
1 |
| 5.8282 |
1.0 |
6.4350 |
1.2250 |
2.0 |
6 |
3 |
32 |
1 |
1 |
0 |
| 5.3003 |
1.0 |
4.9883 |
1.5520 |
1.0 |
6 |
3 |
30 |
1 |
2 |
0 |
| 6.2712 |
1.0 |
5.5200 |
0.9750 |
1.0 |
5 |
2 |
30 |
1 |
2 |
0 |
| 5.9592 |
1.0 |
6.6660 |
1.1210 |
2.0 |
6 |
3 |
32 |
2 |
1 |
0 |
| 5.0500 |
1.0 |
5.0000 |
1.0200 |
0.0 |
5 |
2 |
46 |
4 |
1 |
1 |
| 5.6039 |
1.0 |
9.5200 |
1.5010 |
0.0 |
6 |
3 |
32 |
1 |
1 |
0 |
| 8.2464 |
1.5 |
5.1500 |
1.6640 |
2.0 |
8 |
4 |
50 |
4 |
1 |
0 |
| 6.6969 |
1.5 |
6.0920 |
1.4880 |
1.5 |
7 |
3 |
22 |
1 |
1 |
1 |
| 7.7841 |
1.5 |
7.1020 |
1.3760 |
1.0 |
6 |
3 |
17 |
2 |
1 |
0 |
| 9.0384 |
1.0 |
7.8000 |
1.5000 |
1.5 |
7 |
3 |
23 |
3 |
3 |
0 |
| 5.9894 |
1.0 |
5.5200 |
1.2560 |
2.0 |
6 |
3 |
40 |
4 |
1 |
1 |
| 7.5422 |
1.5 |
4.0000 |
1.6900 |
1.0 |
6 |
3 |
22 |
1 |
1 |
0 |
| 8.7951 |
1.5 |
9.8900 |
1.8200 |
2.0 |
8 |
4 |
50 |
1 |
1 |
1 |
| 6.0931 |
1.5 |
6.7265 |
1.6520 |
1.0 |
6 |
3 |
44 |
4 |
1 |
0 |
| 8.3607 |
1.5 |
9.1500 |
1.7770 |
2.0 |
8 |
4 |
48 |
1 |
1 |
1 |
| 8.1400 |
1.0 |
8.0000 |
1.5040 |
2.0 |
7 |
3 |
3 |
1 |
3 |
0 |
| 9.1416 |
1.5 |
7.3262 |
1.8310 |
1.5 |
8 |
4 |
31 |
4 |
1 |
0 |
| 12.0000 |
1.5 |
5.0000 |
1.2000 |
2.0 |
6 |
3 |
30 |
3 |
1 |
1 |
题目（四）
4、在排污管道设计中，工程师关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。对于圆截面管道这些量之间有如下经验公式：
其中Q代表流量（），S代表管道坡度（m/m），D代表圆管直径（m），是三
个通过实验测定的经验参数。有一组实验数据如下：
| 实验序号 |
S |
||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0.302 0.604 0.906 0.302 0.604 0.902 0.302 0.604 0.906 |
0.001 0.001 0.001 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.05 |
0.0385 0.2283 0.6655 0.1293 0.7948 2.3100 0.3053 1.8975 5.5000 |
用适当的数值方法求出
所涉及的知识——最小二乘拟合。
题目（五）
5、先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和追赶法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组，其中随机地选取，系数矩阵为120阶矩阵（对称正定）
对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。
题目（六）
6、用熟悉的计算机语言编程上机完成
（1）用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。
（2）用Romberg积分法计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。
（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果又有什么不同。
（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以，请说明实现过程，并举例。
题目（七）
7、给定单摆方程初值问题
其中g=9.8,l=25.
- 取初始偏离角度
- 取初始偏离角度
其精确解为。分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。
（方案I）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1；
（方案II）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1；
（方案III）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。
题目（八）
8、用熟悉的计算机语言编程上机完成
（1）用Newton-Cotes公式计算积分的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。
（2）用Romberg积分法计算积分的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较分析，谈谈你的体会。
（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。
（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。
题目（九）
9、土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到
Q=UBH （1.1）
其中Q 是水的流量（），U是流速（），H是水的深度（）。
在水工学中应用的有关流速的公式是
（1.2）
这里n是Manning粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S是水渠的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把（1.2）代入（1.1）就得到
（1.3）
为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量的水），需要指定流量Q和B，求出水的深度。这样，就需要求解
（1.4）
一个具体的案例是
求出渠道中水的深度H。
所涉及的知识——非线性方程解法。
题目（十）
10、用熟悉的计算机语言编程上机完成
（1）用步长自动减半的复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。
（2）用步长不自动减半的（即一般的）复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较。
（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。
（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。
题目（十一）
11、某城市在1900-1990年间，每隔10年统计一次该城市的人口数量，得到结果如下（单位为：百万）：
| x（年） |
1900 |
1910 |
1920 |
1930 |
1940 |
1950 |
1960 |
1970 |
1980 |
1990 |
| Y（人数） |
75.995 |
91.972 |
105.711 |
123.203 |
131.669 |
150.697 |
179.323 |
203.212 |
226.505 |
249.633 |
分别使用不同的插值方法，对没有进行人口统计的年限的人口数量进行预测，并画出效果图。
题目（十二）
12、船舶邦戎曲线是由一组船舶横剖面的面积曲线组成的，其中每条曲线表示该处横剖面在不同水线以下浸入水中的面积。邦戎曲线是船体纵向积分的基础，利用它可以计算船舶在不同吃水下的排水体积和浮心位置，进而为船舶的稳性与强度计算提供基本数据。因而邦戎曲线的精确性直接影响到船舶的安全性。传统邦戎曲线的计算以型值表为基础，利用梯形积分法，把船体某一横截面上各水线之间的面积近似成梯形，然后把这些小梯形的面积求和得到，但梯形法只有一阶代数精度，对稳性计算要求较高的液货船来说，似乎不够精确。利用表1中的数据，采用三次样条插值法构造精度更高的计算船舶邦戎曲线的数值方法，并绘制船舶的邦戎曲线。
题目（十三）
13、选用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程组（考虑从200到220）
=；
考虑初值的变化和松弛因子的变化收敛效果的影响；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
题目（十四）
14、先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组，其中
对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。