在标准Z变换下，连续系统的离散化计算方法

*本文只介绍计算方法，并不涉及计算原理。

1. 连续系统形式

对于一个线性定常连续系统，其一般形式为
$$W(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}\left(n,m\in Z,n\ge m\right)$$设其极点为$s=-d_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$，则上式可以化为
$$W(s)=\sum _i^n\frac{c_i}{s+d_i}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中系数$c_i$可用留数定理计算：
c i = W ( s ) ( s + d i ) ∣ s = − d i c_i = W(s) \left( s+ d_i \right) \Big\rvert _{s = -d_i} ci​=W(s)(s+di​) ​s=−di​​

2. 极点代换

连续系统为$s$域，离散系统为$z$域，两者之间存在变量代换。变量代换具有如下形式：
$$\frac{1}{s+d_i}\to \frac{1}{1-z^{-1}{e}^{-d_{i}T}}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中$T$为离散化时间单位（如0.01s）。
把式(1)中的每一项代换成式(2)的形式，即可将连续系统传函$W(s)$转换成其极点代换形式$W_d(z)$。

3. 等效离散系统

在得到了极点代换形式$W_d(s)$的基础上，通过如下公式得到原连续系统$W(s)$的等效离散系统$W(z)$：
W ( z ) = ∣ W ( j ω ) ∣ ∣ W d ( e j ω T ) ∣ W d ( z ) (3) W(z) = \frac{ \big\lvert W \left( j \omega \right) \big\rvert}{ \big\lvert W_d \left( e^{j \omega T} \right)\big\rvert} W_d (z) \tag{3} W(z)= ​Wd​(ejωT) ​ ​W(jω) ​​Wd​(z)(3)其中 ∣ W ( ⋅ ) ∣ \big\lvert W(\cdot) \big\rvert ​W(⋅) ​指$W(\cdot )$的模值；$T$为离散化时间单位，根据实际问题取值；$\omega$取1。

4. 计算举例

以如下传递函数为例，计算其等效离散系统的传函。离散化时间间隔$T=0.01s$。
$$W(s)=\frac{s+1}{s^2+12s+32}=\frac{s+1}{(s+4)(s+8)}$$(1) 首先利用留数定理将其写成式(1)形式。
c 1 = W ( s ) ( s + 4 ) ∣ s = − 4 = s + 1 s + 8 ∣ s = − 4 = − 0.75 c 2 = W ( s ) ( s + 8 ) ∣ s = − 8 = s + 1 s + 4 ∣ s = − 8 = 1.75 c_1 = W(s) (s+4) \Big\rvert_{s=-4} = \frac{s+1}{s+8} \Bigg\rvert_{s=-4} = -0.75 \\ c_2 = W(s) (s+8) \Big\rvert_{s=-8} = \frac{s+1}{s+4} \Bigg\rvert_{s=-8} = 1.75 c1​=W(s)(s+4) ​s=−4​=s+8s+1​ ​s=−4​=−0.75c2​=W(s)(s+8) ​s=−8​=s+4s+1​ ​s=−8​=1.75于是$$W(s)=\frac{c_1}{s+d_1}+\frac{c_2}{s+d_2}=\frac{-0.75}{s+4}+\frac{1.75}{s+8}$$
(2) 极点代换。根据式(2)，可以得到极点代换形式的传函：
W d ( z ) = c 1 1 − z − 1 e − d 1 T + c 2 1 − z − 1 e − d 2 T = − 0.75 1 − z − 1 e − 4 T + 1.75 1 − z − 1 e − 8 T ∣ T = 0.01 = − 0.75 1 − z − 1 e − 0.04 + 1.75 1 − z − 1 e − 0.08 = − 0.75 1 − 0.96079 z − 1 + 1.75 1 − 0.92312 z − 1 = 1 − 0.98904 z − 1 1 − 1.88391 z − 1 + 0.88692 z − 2 = z 2 − 0.98904 z z 2 − 1.88391 z + 0.88692 \begin{aligned} W_d (z) &= \frac{c_1}{1-z^{-1} e^{-d_1T}} + \frac{c_2}{1-z^{-1} e^{-d_2T}} \\ &= \frac{-0.75}{1-z^{-1} e^{-4T}} + \frac{1.75}{1-z^{-1} e^{-8T}} \Bigg\rvert_{T=0.01} \\ &= \frac{-0.75}{1-z^{-1} e^{-0.04}} + \frac{1.75}{1-z^{-1} e^{-0.08}} \\ &= \frac{-0.75}{1-0.96079z^{-1}} + \frac{1.75}{1-0.92312z^{-1}} \\ &= \frac{1-0.98904z^{-1}}{1-1.88391z^{-1}+0.88692z^{-2}} \\ &= \frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692} \end{aligned} Wd​(z)​=1−z−1e−d1​Tc1​​+1−z−1e−d2​Tc2​​=1−z−1e−4T−0.75​+1−z−1e−8T1.75​ ​T=0.01​=1−z−1e−0.04−0.75​+1−z−1e−0.081.75​=1−0.96079z−1−0.75​+1−0.92312z−11.75​=1−1.88391z−1+0.88692z−21−0.98904z−1​=z2−1.88391z+0.88692z2−0.98904z​​
(3) 等效离散系统。根据式(3)，需要先计算两个模值 ∣ W ( j ω ) ∣ \big\lvert W \left( j \omega \right) \big\rvert ​W(jω) ​和 ∣ W d ( e j ω T ) ∣ \big\lvert W_d \left( e^{j \omega T} \right)\big\rvert ​Wd​(ejωT) ​。对于前者：
∣ W ( j ω ) ∣ = ∣ s + 1 ( s + 4 ) ( s + 8 ) ∣ s = j ω = ω 2 + 1 ω 2 + 4 2 ω 2 + 8 2 ∣ ω = 1 = 2 17 65 = 0.04254 \begin{aligned} \Big\lvert W \left( j \omega \right) \Big\rvert &= \Bigg\lvert \frac{s+1}{(s+4)(s+8)} \Bigg\rvert_{s=j \omega} \\ &= \frac{ \sqrt{\omega^2 + 1} }{ \sqrt{\omega^2 + 4^2} \sqrt{\omega^2 + 8^2} } \Bigg\rvert_{\omega = 1} = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{17} \sqrt{65} } = 0.04254 \end{aligned} ​W(jω) ​​= ​(s+4)(s+8)s+1​ ​s=jω​=ω2+42 ​ω2+82 ​ω2+1 ​​ ​ω=1​=17 ​65 ​2 ​​=0.04254​对于后者：
∣ W d ( e j ω T ) ∣ = ∣ z 2 − 0.98904 z z 2 − 1.88391 z + 0.88692 ∣ z = e j ω T = ∣ e 2 j ω T − 0.98904 e j ω T e 2 j ω T − 1.88391 e j ω T + 0.88692 ∣ T = 0.01 ,   ω = 1 = ∣ e 0.02 j − 0.98904 e 0.01 j e 0.02 j − 1.88391 e 0.01 j + 0.88692 ∣ = ∣ ( cos ⁡ 0.02 + j sin ⁡ 0.02 ) − 0.98904 ( cos ⁡ 0.01 + j sin ⁡ 0.01 ) ( cos ⁡ 0.02 + j sin ⁡ 0.02 ) − 1.88391 ( cos ⁡ 0.01 + j sin ⁡ 0.01 ) + 0.88692 ∣ = ∣ 0.01081 + 0.01011 j 0.002904 + 0.0011599 j ∣ = ∣ 4.40952 + 1.72018 j ∣ = 4.73317 \begin{aligned} \Big\lvert W_d \left( e^{j \omega T} \right) \Big\rvert &= \Bigg\lvert \frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692} \Bigg\rvert_{z = e^{j \omega T} } \\ &= \Bigg\lvert \frac{e^{2 j \omega T}-0.98904e^{j \omega T}}{e^{2 j \omega T}-1.88391e^{j \omega T}+0.88692} \Bigg\rvert_{T=0.01, \\\ \omega = 1} \\ &= \Bigg\lvert \frac{e^{0.02j}-0.98904e^{0.01j}}{e^{0.02j}-1.88391e^{0.01j}+0.88692} \Bigg\rvert \\ &= \Bigg\lvert \frac{ \left( \cos 0.02+ j \sin 0.02 \right)-0.98904 \left( \cos 0.01+ j \sin 0.01 \right)}{\left( \cos 0.02+ j \sin 0.02 \right)-1.88391\left( \cos 0.01+ j \sin 0.01 \right)+0.88692} \Bigg\rvert \\ &= \Bigg\lvert \frac{0.01081+0.01011j}{0.002904+0.0011599j} \Bigg\rvert \\ &= \Big\lvert 4.40952+1.72018j \Big\rvert = 4.73317 \end{aligned} ​Wd​(ejωT) ​​= ​z2−1.88391z+0.88692z2−0.98904z​ ​z=ejωT​= ​e2jωT−1.88391ejωT+0.88692e2jωT−0.98904ejωT​ ​T=0.01, ω=1​= ​e0.02j−1.88391e0.01j+0.88692e0.02j−0.98904e0.01j​ ​= ​(cos0.02+jsin0.02)−1.88391(cos0.01+jsin0.01)+0.88692(cos0.02+jsin0.02)−0.98904(cos0.01+jsin0.01)​ ​= ​0.002904+0.0011599j0.01081+0.01011j​ ​= ​4.40952+1.72018j ​=4.73317​代入(3)，即可得到离散系统的传函：
W ( z ) = ∣ W ( j ω ) ∣ ∣ W d ( e j ω T ) ∣ W d ( z ) = 0.04254 4.73317 W d ( z ) = 0.008988 z 2 − 0.98904 z z 2 − 1.88391 z + 0.88692 = 0.008988 z 2 − 0.008889 z z 2 − 1.88391 z + 0.88692 \begin{aligned} W(z) &= \frac{ \big\lvert W \left( j \omega \right) \big\rvert}{ \big\lvert W_d \left( e^{j \omega T} \right)\big\rvert} W_d (z) = \frac{0.04254}{4.73317} W_d (z) \\ &= 0.008988 \frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692} \\ &= \frac{0.008988z^2-0.008889z}{z^2-1.88391z+0.88692} \end{aligned} W(z)​= ​Wd​(ejωT) ​ ​W(jω) ​​Wd​(z)=4.733170.04254​Wd​(z)=0.008988z2−1.88391z+0.88692z2−0.98904z​=z2−1.88391z+0.886920.008988z2−0.008889z​​