通信算法 | BCH码

本文对 BCH码 进行简单介绍 ¹。

更新：2023 / 6 / 11

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在信息论中，BCH codes 是指 Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes，可以用来纠错。BCH码利用了多项式一些很好的性质。本文将从0开始，用详细的例子解释二进制域中的BCH码 ²。

多项式

二进制与多项式

首先考虑二进制域，即所有每个位的取值只能是 0 或 1。

我们可以尝试把二进制数表示为多项式，二进制数中的从左往右第 j 位，是多项式 x^j 的系数。例如 11011，可以表示成为 1 + x + x^3 + x^4。

二进制域的四则运算与我们常见的十进制差不多，但由于在二进制 1 + 1 = 2 = 0，所以我们每次计算后相当于模上 2。
例如计算 11*11，11 可表示为 1 + x，那么 11*11 在多项式表示就是 (1 + x)*(1 + x) = 1 + 2*x + x^2 = 1 + x^2，因为在这里 2*x 的 x 的系数 2 在二进制中等于 0。另外很重要的概念就是二进制域中，加等于减，例如 x^2 + 1 = 0 相当于 x^2 = 1 。

校验与纠错

我们先回顾简单的奇偶校验码和 hamming码 。

简单的奇偶校验码只能检查出错误而不知道具体是哪里出错，而 hamming码 只能纠正一位错误。

因此我们想能不能有一种方法可以纠正多位错误呢？此时，多项式的威力就发挥了出来。

假如我们的真正的消息是 m(x)，然后乘上一个编码多项式 p(x)，得到 m(x)p(x) 再将其发送过去。发送过程中会会受到很多干扰，于是多项式被加上错误多项式 e(x)，而接收者接收者的消息为 c(x)，就有

c(x) = m(x)p(x) + e(x)

接收者怎么知道消息有没错呢？

1. 接收者事先就会和发送者商量好 p(x)，然后就很简单，只要让 c(x) 除以 p(x)，如果余项是0，即没有 e(x)，没有受到干扰，那么商就是 m(x)，就是正确的消息。
2. 如果余项不是零，我们的商就变成了 m(x) + e(x)/p(x)，无法将真正的消息分离出来。

上述方法有个前提，在 m(x) + e(x)/p(x)，p(x) 必须是不可约的本原多项式 ( primitive polynomials )，这样才能让 e(x) 不被除尽，我们才能意识到有干扰的存在。至于如何寻找素多项式，将在之后说明。

### 纠单个错的例子 下面来看个例子。例如我们要发送的消息 `m(x)` 是 `1001`，而编码多项式 `p(x)` 是 `1101`，于是我们要发送出去的消息就是 `1100101`。假如接收者也接收到了这个消息，用 `p(x)` 除后余项是 `0`，没有错误存在，商是 `1001`，就是发送者发送的消息，自然皆大欢喜。

但如果发送过程中，有一个位被某种不可抗拒的神秘力量改变了，变成了 1100111，接收者同样用 p(x) 去除，得到了余项 1110000，这下不好了，接收者知道出错了。但现在怎么去找出错误多项式 e(x) 呢？

我们知道，这个余项 1110000，就是 e(x)/p(x) 的余项。为了找出 e(x)，我们可以反过来推。于是制作一张表格

上面这个方法之所以能奏效，对于所有的可能的错误。是因为右边的每一个余项都不相同，我们才不至于混淆。如果我们把 p(x) 换成 10001 会发生什么呢？这里 10001 不是本原多项式，因为 10001 可以分解成 101 乘以 101。

备注： 101 X 101 需要做二进制的取模运算，而不是二进制运算，那么 101x101=10001。

e(x)	e(x)/p(x) 的余项，p(x)=10001
1000000	1000000
0100000	0100000
0010000	0010000
0001000	0001000
0000100	1000000
0000010	0100000
0000001	0010000

我们可以看到，右侧重复了。

假如我们的到余项 1000000，我们无法知道 e(x) 究竟是第一行的 1000000 还是第五行的 0000100。

而本原多项式就好在，在所有错误余项 e(x) 出现前 e(x)/p(x) 的余项不会重复，之后将开始重复，这就是被称为 (Cyclic) 码的原因。

寻找本原多项式

如何确定一个多项式是否是本原多项式呢？根据以下原则：

1. 如果是 r 次多项式，最高次项 x^r 的系数必须是 1；
2. 多项式如果不包含常数项 1，就会被 x 整除；
3. 多项式不能是偶数项，比如 1 + x + x^2 + x^4 有四项，很容易将其分解为 (1+x)(1+x^2+x^3)；

备注：(1+x)(1+x^2+x^3) = 1+x^2+x^3+x+x^3+x^4=1+x^2+2x^3+x^4=1+x^2+x^4

5. 每一项的次数也不能都是偶数，否则将每一项次数减半就能得到因子。例如，1 + x^2 + x^4 = (1+x+x^2)(1+x+x^2) = (1 + x + x^ 2)^2；

备注：(1+x+x^2)(1+x+x^2)=1+x+x^2+x+x^2+x^3+x^2+x^3+x^4=1+2*x+2*x^2+x^2+2*x^3+x^4=1+x^2+x^4

于是，我们很容易找到以下的表格：

次数	本原多项式
1	1+x
2	1+x+x2
3	1+x+x3
4	1+x+x^4，1+x^3+x^4，1+x+x^2+x^3+x^4

按照上述方法可以继续寻找更多的本原多项式。次数越高，数量越多。

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BCH码

如果想要纠正多个错误呢？此时仅一个编码多项式 p(x) 就不够了，我们还需要更多的编码多项式来让我们能找出多个错误 ³。

这时就轮到 BCH 码出场了，其编码多项式标准形式是：

Q(x) = p(x)p₃(x)p₅(x)p_2t-1(x)

其中 p(x) 是本原多项式，而 p~3~(x^3)， p~5~(x^5) … 都是可以被 p(x) 除余0的多项式。即

p₃(x^3)=p₅ (x^5)···p_2t-1 (x^2t-1) = 0 (mod p(x))

如果我们要设计一个可以纠正两个错误的编码多项式，就让 Q(x) = p(x)p₃(x)。
要设计一个可以纠正三个错误的编码多项式，就让 Q(x) = p(x)p₃(x)p₅(x)。

现在我们先说如何寻找 p₃(x)：

看不懂了…

留下下回更新…

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参考链接

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1. BCH码 ↩︎

2. 【举例子详细分析】BCH码(BCH code) ↩︎

3. 第四章-- 线性分组码（2）BCH码、RS码 ↩︎