Python数值和偏微分方程解

Python数值分析

线性方程组

使用numpy.linalg.solve求解以下方程式

4 x 1 + 3 x 2 − 5 x 3 = 2 − 2 x 1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 5 8 x 1 + 8 x 2 = − 3 \begin{aligned}4 x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3} &=2 \\-2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3} &=5 \\8 x_{1}+8 x_{2} &=-3\end{aligned} 4x1+3x25x32x14x2+5x38x1+8x2=2=5=3

import numpy as np

A = np.array([[4, 3, -5], 
              [-2, -4, 5], 
              [8, 8, 0]])
y = np.array([2, 5, -3])

x = np.linalg.solve(A, y)
print(x)

输出:

[ 2.20833333 -2.58333333 -0.18333333]

手工计算得出的结果与上述方法相同。 在后台,求解器实际上是在进行LU分解以获得结果。 您可以检查该函数的帮助,它需要输入矩阵为正方形且为全秩,即所有行(或等效地,列)必须线性独立。

片段14

尝试使用矩阵求逆法求解上述方程

A_inv = np.linalg.inv(A)

x = np.dot(A_inv, y)
print(x)

输出:

[ 2.20833333 -2.58333333 -0.18333333]

我们还可以使用scipy包获得用于LU分解的 L L L U U U矩阵

片段15

获取上述矩阵A的 L L L U U U

from scipy.linalg import lu

P, L, U = lu(A)
print('P:\n', P)
print('L:\n', L)
print('U:\n', U)
print('LU:\n',np.dot(L, U))

输出:

P:
 [[0. 0. 1.]
 [0. 1. 0.]
 [1. 0. 0.]]
L:
 [[ 1.    0.    0.  ]
 [-0.25  1.    0.  ]
 [ 0.5   0.5   1.  ]]
U:
 [[ 8.   8.   0. ]
 [ 0.  -2.   5. ]
 [ 0.   0.  -7.5]]
LU:
 [[ 8.  8.  0.]
 [-2. -4.  5.]
 [ 4.  3. -5.]]

我们可以看到我们得到的 L L L U U U与我们在上述中手工得到的有所不同。 您还将看到LU函数返回的置换矩阵 P P P。 此置换矩阵记录了我们如何更改方程式的顺序,以简化计算目的(例如,如果第一行中的第一个元素为零,则它不能成为枢轴方程,因为您不能将其他行中的第一个元素转换为 零。因此,我们需要切换方程式的顺序以获得新的枢轴方程式)。 如果将 P P P A A A相乘,您会发现此置换矩阵会逆转这种情况下方程的顺序。

P P P A A A相乘,看看置换矩阵对 A A A有什么影响

print(np.dot(P, A))

输出:

[[ 8.  8.  0.]
 [-2. -4.  5.]
 [ 4.  3. -5.]]

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Python解偏微分方程

求解泊松方程

数学问题公式化:

− ∇ 2 u ( x ) = f ( x ) , x  in  Ω , ( 1 ) -\nabla^{2} u(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { in } \Omega,\qquad(1) 2u(x)=f(x),x in Ω,(1)

u ( x ) = u D ( x ) , x  on  ∂ Ω , ( 2 ) u(\boldsymbol{x})=u_{\mathrm{D}}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { on } \partial \Omega,\qquad(2) u(x)=uD(x),x on Ω,(2)

其中, u = u ( x ) u=u(\boldsymbol{x}) u=u(x) 为未知函数, f = f ( x ) f=f(\boldsymbol{x}) f=f(x) 为规定函数, ∇ 2 \nabla^{2} 2 为拉普拉斯算子(常写为 ∇ \nabla ), Ω \Omega Ω 为空间域, ∂ Ω \partial \Omega Ω Ω \Omega Ω的边界。 泊松问题,包括偏微分方程 − ∇ 2 u = f -\nabla^{2} u=f 2u=f ∂ Ω \partial \Omega Ω 上的边界条件 u = u D u=u_{\mathrm{D}} u=uD,是边界值问题的一个例子,在开始使用 FEniCS 解决它之前必须精确说明。

在坐标为 x 和 y 的二维空间中,我们可以写出泊松方程为

− ∂ 2 u ∂ x 2 − ∂ 2 u ∂ y 2 = f ( x , y ) , ( 3 ) -\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f(x, y),\qquad(3) x22uy22u=f(x,y),(3)

未知数 u \boldsymbol{u} u 现在是两个变量的函数, u = u ( x , y ) u=u(x, y) u=u(x,y),在二维域 Ω \Omega Ω 上定义。

泊松方程出现在许多物理环境中,包括热传导、静电、物质扩散、弹性杆的扭曲、无粘性流体流动和水波。 此外,该方程出现在更复杂的偏微分方程系统的数值分裂策略中,尤其是 Navier-Stokes 方程。

求解边界值问题(例如 FEniCS 中的泊松方程)包括以下步骤:

有限元变分公式

基于有限元方法,它是 PDE 数值解的通用且高效的数学机器。 有限元方法的起点是以变分形式表示的偏微分方程。

将 PDE 转化为变分问题的基本方法是将 PDE 乘以函数 v v v,在域 Ω \Omega Ω 上对所得方程进行积分,并通过具有二阶导数的部分项进行积分。 乘以 PDE 的函数 v v v 称为测试函数。 要逼近的未知函数 u u u 称为试验函数。 术语试验和测试功能也用于程序。 试验和测试函数属于某些所谓的函数空间,这些函数空间指定了函数的属性

在本例中,我们首先将泊松方程乘以测试函数 v v v 并在 Ω \Omega Ω 上积分:

− ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v   d x = ∫ Ω f v   d x , ( 4 ) -\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(4) Ω(2u)v dx=Ωfv dx,(4)

我们在这里让 dx 表示域 Ω 上积分的微分元素。 我们稍后将让 ds 表示在 Ω 边界上积分的微分元素。

当我们推导出变分公式时,一个常见的规则是我们尽量保持 u u u v v v 的导数的阶数尽可能小。 在这里,我们有 u u u 的二阶空间导数,可以通过应用部分积分技术将其转换为 u u u v v v 的一阶导数。 公式是这样写的

− ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v   d x = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v   d x − ∫ ∂ Ω ∂ u ∂ n v   d s , ( 5 ) -\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x-\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \mathrm{~d} s,\qquad(5) Ω(2u)v dx=Ωuv dxΩnuv ds,(5)

其中 ∂ u ∂ n = ∇ u ⋅ n \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u \cdot n nu=un u u u 在边界外法线方向 n n n 上的导数。

变分公式的另一个特点是测试函数 v v v 需要在解 u u u 已知的边界部分消失。 在当前问题中,这意味着整个边界 ∂ Ω \partial \Omega Ω 上的 v = 0 v=0 v=0。 因此,等式(5)右边的第二项消失了。 从等式(4)和(5)可以得出

∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v   d x = ∫ Ω f v   d x , ( 6 ) \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(6) Ωuv dx=Ωfv dx,(6)

抽象有限元变分公式

事实证明,为变分问题引入以下规范符号是很方便的:找到 u ∈ V u \in V uV 使得

a ( u , v ) = L ( v ) ∀ v ∈ V ^ , ( 9 ) a(u, v)=L(v) \quad \forall v \in \hat{V},\qquad(9) a(u,v)=L(v)vV^,(9)

对于泊松方程,我们有:

a ( u , v ) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v   d x , ( 10 ) a(u, v)=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x,\qquad(10) a(u,v)=Ωuv dx,(10)

L ( v ) = ∫ Ω f v   d x , ( 11 ) L(v)=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(11) L(v)=Ωfv dx,(11)

实现代码(Python)

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(8, 8)
V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1)
# Define boundary condition
u_D = Expression(1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1], degree=2)
def boundary(x, on_boundary):
	return on_boundary
bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)
# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx
# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
# Plot solution and mesh
plot(u)
plot(mesh)
# Save solution to file in VTK format
vtkfile = File(’poisson/solution.pvd’)
vtkfile << u
# Compute error in L2 norm
error_L2 = errornorm(u_D, u, ’L2’)
# Compute maximum error at vertices
vertex_values_u_D = u_D.compute_vertex_values(mesh)
vertex_values_u = u.compute_vertex_values(mesh)

import numpy as np
error_max = np.max(np.abs(vertex_values_u_D - vertex_values_u))
# Print errors
print(’error_L2 =, error_L2)
print(’error_max =, error_max)
# Hold plot
interactive()

有限元求解器库 | 子域和边界条件 | 改进泊松求解器

源代码

详情参阅 - 亚图跨际

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