约瑟夫问题的个人理解
昨天遇见了约瑟夫环这个问题。当时只想到了一种解决方法，用环模拟整个过程。后来又在网上看见了约瑟夫问题的数学解法，看了几遍，都没看懂，直到遇见“每天都满满的太阳”这篇博客：http://wewe39.blogbus.com/logs/121389435.html ，才完全理解了约瑟夫问题。那篇博客讲解了约瑟夫问题数学解法的各个细节，还提出了理解上可能遇见的几个困难。文章很好，但有三个关键疑点，博主还是语焉不详。所以，本文希望能够在那篇博客的基础上解释那几个关键疑点，最好先阅读原博客再来看我这篇水文，若能完全理解原博客，那么恭喜你，你很聪明；若暂时不能理解，也不要气馁，再聪明的人也有被卡住的时候，希望我这篇水文能带你绕过障碍。下文红色部分为引用原博客的，黑色部分为我的理解。
疑点1
"""
【思考过程】
首先一开始的序列
序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
此时出队列的第一个人，位置为k，号码肯定是m%n。这个应该没有问题，也就是取余操作使得数组类似能够有循环的功能。
此时序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
此时k出队列，序列2中为n-1个人了。
根据序列2，得到序列3：
k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1
从序列2得到序列3很简单，也就是将k+1作为开始，然后将1连到n的后面，其实只是位置的不同，但是本质两个序列是一样的。所以同样，这里也是n-1个元素。
序列3可以映射得到序列4：
1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1
这里我就乱掉了，这个映射是可以做，但是映射关系是怎样的？
"""
从序列3映射到序列4，这个过程有些巧妙，但并不复杂。所谓映射，等于有一圈人，每个人身上贴一个号码，按照序列3的规律排列，再将每个人身上的号码重新排一次，排成序列4，但是保持每个人不动以及人与人之间的前后关系不变。照此，可画个映射图：
k+1 ----> 1
k+2 ----> 2
.................
.................
.................
n-2 -----> n-k-2
n-1 -----> n-k-1
n -------> n-k "序列3从k+1开始，到n-1，映射过程就是减k的过程”
1 -------> n-k+1
2 ------> n-k+2
.................
.................
.................
k-2 -----> n-k+1+(k-3)=n-2
k-1 -----> n-k+1+(k-2)=n-1 "序列3从1到k-1，映射过程就是两者之间的距离加上n-k“
从上面可以看出，序列4与序列3存在映射关系。
疑点2
“”“”
对于序列4，我们假设能够得到解，也就是最后一个退出的人的号码，设置为x。如果我们能够通过映射关系，将x在序列3中对应的号码x’求出来，那我 们就可以得到序列3的解，因为序列3其实和序列2是同一个，所以序列2的解我们也就得到了，序列2就是序列1去掉一个k，这个k对于序列1的解没有任何影 响，所以序列1的答案就是求出来的x’。
那关键就是如何通过x得到x’ ，也就是映射关系的问题。
对于序列4，如果我们要得到1到n-1序列中的值，我们也是做取余操作，只不过除数变为n-1了。
但是如何得到关系为 x'=(x+m)%n，从而得到递推式
f(i)=(f(i-1)+m)%i
还是没法理解出来。
“”“”
上述问题，可以归纳为，假设某人在序列4的位置为x，相应地，他在序列3的位置应该为多少呢？假设为x'。如何求出来x'呢？
仔细看上面我推出的映射图最后一项来看，序列4的位置为n-1，序列3的位置为k-1，两者之间有个取模的关系式，即((n-1)+k)%n=k-1（k<n)，序列4的其他项也存在同样的规律，用符号替换一下上述关系式，即(x+k)%n=x'，而用函数表达式形容这个关系，也就是f(i)=(f(i-1)+m)%i。f(i)为某人在序列中的位置。当然，有人会问，如果k>=n，怎么破，其实k>=n，结果也一样，这也就是原博客中出现了m%n的原因，m表示第m个人被拖出去斩了，直接用m%n代替k，上述关系式就变成了(x+m%n)%n=x'，也就是(x+m)%n=x'，还是一样的公式。
得出了这个数学公式，就可以根据这个数学公式写代码了。
疑点3
原博客中的代码些地方不好理解，我用黑色字体注释的方式加以说明。
”“”
递归操作的代码：
2 {
3 if (n==1)
4 {
5 return0; /* return 0 代表了从0开始报数，因此在最后的f(i)计算出来后，还要再加1，才能模拟从1开始报数的情况，请见代码13行中ret+1 */
6 }
7 return (Josephus(n-1,m)+m)%n;
8 }
9
10 int main()
11 {
12 int ret=Josephus(5,3);
13 cout<<ret+1<<endl;
14 }
15
非递归操作的代码，也就是递推
2 {
3 int l=0,c;
4 for(c=1;c<=n;c++)
5 l=(l+m-1)%c+1; /* m-1代表了从0开始报数的情况，从0开始报数，则原来从1开始报数为m的人应该报数为m-1，而c所以从1开始，请看f(n)=(f(n-1)+m)%n这个表达式，所以必须从1开始递推。若不然，n=0,n-1=-1，就出错了。 因为是递推，这个递推公式每次都模拟了一个从1开始报数的情况，所以需要加1，才能准确模拟从1开始报数。 */
6 return l;
7 }
8
9 int main()
10 {
11 int ret=josefus(5,3);
12 cout<<ret<<endl;
13 }
14
“”“
【循环链表解法】
#ifdef __cplusplus
extern "C" {
#endif
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
struct _node
{
int key;
struct _node *next;
};
int main()
{
int i, N, M;
struct _node *pnow, *head;
while(1)
{
pnow = (struct _node *)malloc(sizeof(struct _node));
pnow->key = 1;
head = pnow;
printf("Please enter two numbers:\t");
scanf_s("%d %d", &N, &M);
if(N <= 0 || M <= 0)
{
printf("N < 0, or M < 0, it's wrong\n");
return -1;
}
/* initial the circle linklist */
for(i = 2; i < N; i++)
{
pnow->next = (struct _node *)malloc(sizeof(struct _node));
assert(pnow->next != NULL);
pnow = pnow->next;
pnow->key = i;
}
pnow->next = head;
/* delete the M'th node */
while(pnow->next != pnow)
{
for(i = 1; i < M; i++)
{
pnow = pnow->next;
}
printf("this time deletes %d\n", pnow->next->key);
head = pnow->next;
pnow->next = pnow->next->next;
free(head);
}
printf("this time deletes %d\n", pnow->key);
free(pnow);
}
return 0;
}
#ifdef __cplusplus
}
#endif
【致敬】
希望我的讲解能够有助于快速理解约瑟夫问题，但是，这一切都是建立在”每天都满满的阳光”的文章的基础上。非常感谢“每天都满满的太阳”，“每天都满满的太阳“，如果你看到了这篇文章，请原谅我这样“糟蹋”你的博文。
【附录】
http://blog.csdn.net/solofancy/article/details/4211770 这篇博客补充了约瑟夫问题的另外几种解法。