背包九讲

一 01背包：

一件物品只能放一次

二维动态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

降低空间复杂度用一维: dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]), j 从V到0(为了防止数组越界，到w[i])

代码实现：

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 100;

int dp[MAX],w[MAX],v[MAX];

int n,m;

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i = 1; i <= n ; i++){

        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);

    }

    for(int i = 1; i <= n ; i++){

        for(int j = m; j >= w[i]; j--){

            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

        }

    }

    printf("%d\n",dp[m]);

  return 0;

}

01背包

二 完全背包：

一件物品能放无限次

二维动态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i])

降低空间复杂度用一维：dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])，不过j从0到V(为了防止数组越界，从w[i]开)

也可以看做m/(w[i])个物品，继续看成01背包问题，价值和重量都放大2^k次

代码实现：

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 100;

int dp[MAX],w[MAX],v[MAX];

int n,m;

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i = 1; i <= n ; i++){

        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);

    }

    for(int i = 1; i <= n ; i++){

        for(int j = w[i]; j <= m; j++){

            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

        }

    }

    printf("%d\n",dp[m]);

  return 0;

}

完全背包

三 多重背包：（hdu2191）

限定了每一件物品的适用次数

法一：

结合01背包和完全背包讨论情况

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 1111;

int dp[MAX],w[MAX],v[MAX],t[MAX];

int n,m;

void comback(int w,int v)

{

    for(int i = w; i <= n ; i++)

        dp[i] = max(dp[i],dp[i-w]+v);

}

void oneback(int w,int v)

{

    for(int i = n ; i >= w; i--)

        dp[i] = max(dp[i],dp[i-w]+v);

}

int main()

{

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--){

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        scanf("%d%d",&n,&m);

        for(int i = 1; i <= m ; i++){

            scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&t[i]);

            if(w[i]*t[i] >= n) comback(w[i],v[i]);

            else {

                for(int j = 1; j < t[i]; j <<= 1){

                    oneback(j*w[i],j*v[i]);

                    t[i] -= j;

                }

                oneback(t[i]*w[i],t[i]*v[i]);

            }

        }

        printf("%d\n",dp[n]);

    }

    return 0;

}

多重背包

法二：

转化成01背包问题，把每一种放大（二进制）　　　　

主函数型写法

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 1111;

int dp[MAX],v[MAX],w[MAX],t[MAX];

int V[MAX],W[MAX];

int main()

{

    int n,m,T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--){

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        memset(v,0,sizeof(v));

        memset(w,0,sizeof(w));

        memset(t,0,sizeof(t));

        scanf("%d%d",&m,&n);

        int count = 1;

        for(int i = 1; i <= n ; i++){

            scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&t[i]);

            for(int j = 1; j < t[i]; j <<= 1){

                V[count] = j*v[i];

                W[count] = j*w[i];

                count++;

                t[i] -= j;

            }

                V[count] = t[i]*v[i];

                W[count] = t[i]*w[i];

                count++;

        }

        for(int i = 1; i < count; i++){

            for(int j = m; j >= W[i];j--){

                dp[j] = max(dp[j],dp[j-W[i]]+V[i]);

                }

            }

        printf("%d\n",dp[m]);

        }

        return 0;

}

多重背包

函数型写法（推荐）

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 50010;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

int dp[50010];

int w[110],num[110];

int n,m;

void oneback(int w,int v){

    for(int i =  MAX ; i >= w; i--)

        dp[i] = min(dp[i],dp[i-w]+v);

}

void comback(int w,int v){

    for(int i = MAX+w ; i>= 0; i--)

        dp[i] = min(dp[i],dp[i-w]+v);

}

int multiplepack()

{

    int k ;

    for(int i = 1; i <= MAX; i++)

        dp[i] =inf;

    dp[0] = 0;

    for(int i = 1; i <= 2*n;i ++){

        if( i <= n){

             k = 1;

            while(k < num[i]){

                oneback(k*w[i],k);

                num[i] -= k;

                k*= 2;

            }

            oneback(num[i]*w[i],num[i]);

        }

        else 

            comback(-w[i-n],1);

    }

    if(dp[m] == inf)

        return -1;

    else return dp[m];

}

int main()

{

    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        for(int i = 1; i <= n ; i++)

            scanf("%d",&w[i]);

        for(int i = 1; i <= n ; i++)

            scanf("%d",&num[i]);

        printf("%d\n",multiplepack());

    }

    return 0;

}

View Code

 

四 多重 01 完全混合

五 二维条件的背包

只需要多开一个条件 dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-a[i]][k-b[i]]+w[i])

六 分组的背包问题

多开一个for循环

for(int k = 1; k <= n ;k++){

    for(int j = m; j >= 0 ; j--){

        for(int i = 1 ; i <= a[k]; i++){

            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

        }

    }

}

分组背包

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 110;

int dp[MAX];

int a[MAX][MAX];

int w[MAX],v[MAX];

int main()

{

    int n,m;

    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m){

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        memset(a,0,sizeof(a));

        memset(w,0,sizeof(w));

        memset(v,0,sizeof(v));

        for(int i = 1;i <= n ; i++){

            for(int j = 1; j <= m ; j++)

                scanf("%d",&a[i][j]);

        }

        for(int i = 1; i <= n ; i++){

            for(int j = m; j >= 0 ; j--){

                for(int k = 1; k <= j;k++){

                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-k]+a[i][k]);

                }

            }

        }

        printf("%d\n",dp[m]);

    }

    return 0;

}

hdu1712

七