四十三、贪心——Huffman树、排序不等式

一、Huffman树

• 哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树，且为完全二叉树。
• • 所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。
• • 树的带权路径长度记为WPL=(W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn)，N个权值Wi(i=1,2,…n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,…n)。
• • 可以证明哈夫曼树的WPL带权路径长度是最小的。
• 贪心思想：
• • 选最小的两堆进行合并

1、题目内容——合并果子

2、算法思路

（1）“合并果子”中的Huffman树

• 叶子结点为我们要进行合并的节点
• 合并代价为下方两个“代价总和”相加
• 从下向上开始合并
  
• 总和：（a + b）+ (c + d) +(a + b + c + d ) + e + f + a +b + c + d + e + f
• 优化：直接计算当前根节点到根节点距离
• • 3a(到根节点的距离） + 3b + 3c + 3d + 2e + 2f

（2）算法步骤

• 方法： 每次选出最小的两堆进行合并，寻找局部最优解的过程
• • 数最小的两个点，在树中一定是深度最深的，可以互为兄弟（不一定非得是兄弟节点）
• • 数最小，但并未在最深的一层，则需要交换，这样将使整体权值变小（2f + 3b + -(3f + 2b) = b - f > 0）

（3）状态转移

3、题解

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main{
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<>();
        
        String str1 = in.readLine();
        int n = Integer.parseInt(str1);
        
        String[] str2 = in.readLine().split(" ");
        
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int x = Integer.parseInt(str2[i]);
            heap.add(x);
        }
        
        int res = 0;
        while(heap.size() > 1){
            int a = heap.poll();        // 选最小的两个点
            int b = heap.poll();
            res += a + b;               // 合并代价更新
            heap.add(a + b);            // a + b变成了新的节点
        }
        
        
        System.out.println(res);
    }
}

二、排序不等式

• 排队问题 + 排队代价，如何让总体代价最小
• 贪心思想：
• • 让代价越大的排序越靠后

1、题目内容——排队打水

2、算法思路

（1）分析

（2）思路

• 按照从小到大的顺序排队，总时间最小

（3）证明

3、题解

import java.util.*;
import java.io.*;


public class Main{
    static int N = 100010;
    static int[] time = new int[N];
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        
        String str1 = in. readLine();
        int n = Integer.parseInt(str1);
        
        String[] str2 = in.readLine().split(" ");
        for(int i = 0; i < n; i++){
            time[i] = Integer.parseInt(str2[i]);
        }
        
        Arrays.sort(time, 0 , n);
        
        long res = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            res += time[i]*(n - i - 1);
        }
        
        
        System.out.println(res);
    }
}