计算机基础---＞数据结构（8）【B树、B+树＜超详细图文＞】

B树(B-Tree)

B树（B-Tree）是一种自平衡的搜索树，又称平衡多路查找树，主要用于系统中大量数据的读和写操作。B树的特点是能保持数据有序，这使得在B树中进行查找、顺序访问、插入和删除等操作都非常高效。

B树中单一节点拥有的最多子结点的数量称为B树的阶，一个m阶B树的主要特点如下：

1. 所有叶子节点都在同一层
2. 每个节点中的元素都按照升序排列，每个元素的左子树中的所有关键字都小于它，右子树中所有元素都大于它
3. 若根节点不是叶子节点，则至少有两颗子树（2<=子树个数<=m）
4. 除根结点和叶子节点外，节点至少有ceil(m/2)棵子树
5. 有k个孩子的非叶子节点包含k-1个元素（ceil(m/2)<=k<=m，当m=3时，2<=k<=3）

在B树中，插入和删除操作可能涉及节点的分裂和合并，以保持树的平衡性。当插入数据时，如果节点已满，会触发节点的分裂操作；当删除数据时，如果节点过于空闲，会触发节点的合并操作。

B树的查询操作

上图是一个三阶的B树，如果我们要查找元素5，需要进行如下步骤

1. 与根节点元素9进行比较，5<9进入左子树
2. 与左子树元素2和6进行比较，发现2<5<6，进入中间子树
3. 与中间子树3和5进行比较，找到5

B树的几种插入删除情况

• 如果插入10，没有打破规则，直接插入

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• 如果插入4，这时候可以看到叶子节点元素过多，超过了m-1，因此需要对节点进行分裂
• 将ceil(m/2)位置的元素上升到父结点
• 此时父结点的元素个数同样不满足B树规则，因此继续对父结点进行分裂

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• 删除元素13，没有改变规则

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• 删除元素8，剩余元素不足，相邻的兄弟节点没有多余元素，这时候就需要与相邻兄弟节点进行合并操作
• 首先移动父结点中的元素【该元素在两个需要合并的两个结点元素之间】下移到其子结点中，然后将这两个结点进行合并成一个结点
• 删除元素11，剩余元素不足，相邻兄弟节点有多余元素
• 删除后，父节点（9，12）就少一个子节点。此时可以向兄弟节点“借”一个元素。但6不可以直接放在元素11的位置，需要上升到到父节点中，再把元素6和12之间的元素9移动到元素11的位置

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• 删除2

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• 删除元素6
• 使用9替代6，删除9之后相邻兄弟没有多余元素，需要从父结点去借一个元素，然后进行合并

B+树

是B树的一种变体，主要用于数据库和文件系统，

B+树的主要特点

1. 有k个子树的中间节点包含k个元素（B树是k-1），每个元素不保存数据，数据都保存在叶子节点。
2. 所有的叶子节点包含了全部元素，依照元素的大小升序排列，叶子节点之间用双向指针链接
3. 所有中间节点的元素都同时存在于子结点，在子结点元素中是最大或最小元素
4. B+树叶子节点中元素个数为（ceil(m/2)~m），添加第一个节点除外

在上图的B+树中，根节点元素8在子节点（2，5，8）中是最大元素，也是叶子节点（6，8）的最大元素；根节点元素15在子节点（11，15）中是最大元素，在叶子结点（13，15）中也是最大元素。

B+树的好处

方便进行范围查询，比如我要查询3~11区间的元素

1. 首先自顶向下，查找区间的最小值3所在的叶子结点
2. 通过链表指针，遍历到相邻叶子节点(6,8)
3. 继续通过链表指针，遍历到相邻叶子结点（9，11）

插入操作

情况1. 若被插入元素所在的结点，其含有元素数目小于阶数 m，则直接插入

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情况2. 若被插入关键字所在的结点，其含有关键字数目等于阶数 m，则需要将该结点分裂为两个结点，一个结点包含 ⌈m/2⌉ 。同时，将⌈m/2⌉的关键字上移至其双亲结点。假设其双亲结点中包含的关键字个数小于 m，则插入操作完成

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情况3. 若插入的关键字比当前结点中的最大值还大，破坏了B+树中从根结点到当前结点的所有索引值，此时需要及时修正后，再做其他操作。

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情况4. 在第 2 情况中，如果上移操作导致其双亲结点中关键字个数大于 m，则应继续分裂其双亲结点。插入元素20

删除操作

情况1：找到存储有该关键字所在的结点时，由于该结点中关键字个数大于⌈M/2⌉，做删除操作不会破坏 B+树，则可以直接删除。

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情况2： 当删除该关键字时，导致当前结点中关键字个数小于 ⌈M/2⌉，若其兄弟结点中含有多余的关键字，可以从兄弟结点中借关键字完成删除操作。

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情况3： 情况2中，如果其兄弟结点没有多余的关键字，则需要同其兄弟结点进行合并。

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情况4： 当删除某结点中最大的关键字时，就会涉及到更改其双亲结点一直到根结点中所有索引值的更改。

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情况5： 当进行合并时，可能会产生因合并使其双亲结点破坏 B+树的结构，需要依照以上规律处理其双亲结点。