高中奥数 2021-11-25

2021-11-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P021 习题5）

已知、 ,且,,,试求的值.

解

由,可设,,则

两式相加得,即,故.

注可用以下恒等式进行求解

2021-11-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P021 习题6）

已知,,求复数.

解

由可设,代入得即

所以,

于是,

从而.

经检验,是原方程的解.

2021-11-25-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P021 习题7）

已知复数、满足.

(1)若,求、的值;

(2)若,求的值.

解

注意到、分别是以、为邻边的平行四边形的对角线.

(1)因为,所以、、是正三角形的边.复数、分别可以看作按顺时针或逆时针旋转、得到于是

或

(2)因为,所以、、组成顶角为,以、为腰长的等腰三角形.

按逆(顺)时针旋转后,就可得出或(如图所示).

图1

设,则当时,,当时,.

于是.

注对于第(1)小题,应用复数减法的几何意义就可直接求出、,但应注意复数旋转的方向和具有相同的始点.

2021-11-24-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P021 习题8）

求证:.

解

因为

又因为

$\begin{aligned} \left(\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha \right)^{4}&=\left[\left(\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha \right)^{2}\right]^{2}\\&=\left[\left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)+2\sin \alpha \cos \alpha \cdot\mathrm{i}\right]^{2}\\&=\left(\cos ^{4}\alpha -6\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha +\sin ^{4}\alpha \right)+4\sin \alpha \cos \alpha \left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)\mathrm{i}, \end{aligned}$

所以

$\begin{aligned} \cos \alpha + \mathrm{i}\sin 4\alpha &=\left(\cos ^{4}\alpha -6\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha +\sin ^{4}\alpha \right)+4\sin\alpha\cdot\cos \alpha \left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha\right)\mathrm{i}. \end{aligned}$

根据复数相等的定义得

将代入上式则有

$\begin{aligned} \sin \left(4\arcsin x\right)&=4\sin \left(\arcsin x\right)\cdot \cos \left(\arcsin x\right)\cdot \left[\cos ^{2}\left(\arcsin x\right)-\sin ^{2}\left(\arcsin x \right)\right]\\&=4x\cdot \sqrt{1-x^{2}}\cdot \left[\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}-x^{2}\right]\\&=4x\cdot \sqrt{1-x^{2}}\cdot \left(1-2x^{2}\right). \end{aligned}$

即,证毕.

高中奥数 2021-11-25

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