【机械臂】六轴六自由度机械臂轨迹跟踪的matlab实现（基于速度雅各比矩阵方法）

六轴六自由度机械臂轨迹跟踪的matlab实现（基于速度雅各比矩阵方法）

对于六轴六自由度机械臂进行轨迹规划，并针对其设计滑模控制器，实现机械臂的末端轨迹跟踪。（完整代码链接见文章末尾）
本文所用机械臂为innfos-Gluon-6L3，通过standard DH方法建模得到参数如下：

本文利用速度雅各比矩阵的方法来实现轨迹跟踪。这一方法的优点在于可以完全避免逆运动学求解，更加节省时间。

1.轨迹跟踪的控制结构图设计

控制系统的输入，同样也是系统的期望输出，是机械臂的目标位姿$x_d=(x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma )$。其刚好对应机械臂的六个自由度。前三者是机械臂末端坐标系相对于世界坐标系的位置，后三者是机械臂末端坐标系相对于世界坐标系的旋转角度。每一时刻的机械臂期望位姿都是已知的，它是通过轨迹规划得到的，这一点将在后文详细讲解。
系统的控制器采用滑模控制器，其输入为位姿误差$e=x_d-x$，输出为角度增量$\dot{q}$。
系统的被控对象是利用速度雅各比矩阵来建模的，其关系为$v=J(q)\dot{q}$。其中$J(q)$为速度雅各比矩阵。
系统的输出为机械臂的实际末端位置$x=\int vdt$。

2.系统的输入：轨迹规划

为了使得机械臂的末端运动平滑，常对机械臂进行规划，对末端速度、加速度等进行一定约束。
工业上常使用七段式S型曲线来进行轨迹规划，其示意图图如下：

其有七个等间距时间段，分别为加加速段、加速度恒定段、加减速段、匀速段、减减速段、加速度恒定段、减加速段。
各段速度的计算表达式如下，其中$J$为加加速度。

式中的$v_{max}$等参数的计算推导如下：
$$\begin{gathered} △T=t_{i+1}-t_i=\frac{t_f-t_0}{7} \\ L=4v_{max}△T \\ {v}_2=v_1+a_{max}△T \\ {a}_{max}=\frac{2v_1}{△T} \\ {v}_{max}=v_1+v_2=2v_1+a_{max}△T=4v_1 \\ L=16v_1△T\to v_1=\frac{L}{16△T} \end{gathered}$$
所以最终只需知道末端位移$L$和所需时间$T$，即可计算得到整个轨迹规划曲线。其matlab代码实现如下。
其中的$x\_s$、$y\_s$、$z\_s$分别为每时的机械臂末端位置，即期望期望位姿$x\_d$的前三行。$x\_d$的后三行为末端位置的姿态信息，在本次仿真中我们默认机械臂的姿态始终为0，所以$x\_d$的后三行总是为0。

%% 0.设定初始参数
% xyz_start=[0,-120.02,533.96];       %轨迹起点(关节角为0)的末端坐标，单位mm；
xyz_start=[0,-120.02,533.96];
xyz_end=[-30,-45,385];     %轨迹终点的末端坐标；
T=10;       %完成轨迹规划的时间；

%% 1.轨迹规划
L=sqrt((xyz_end(1)-xyz_start(1))^2+(xyz_end(2)-xyz_start(2))^2+(xyz_end(3)-xyz_start(3))^2);
dt=T/7;        %每段的时间长度
v1=L/(16*dt);   %第一次加速度拐点
J=2*v1/(dt*dt); %加加速度
amax=dt*J;      %最大加速度
v2=v1+dt*amax;  %第二次加速度拐点
vmax=v2+v1;     %第三次速度拐点

t1 = 1*dt;
t2 = 2*dt;
t3 = 3*dt;
t4 = 4*dt;
t5 = 5*dt;
t6 = 6*dt;
t7 = 7*dt;

t=0:0.1:T;

vt1=1/2*J*t.^2.*(t>=0 & t<t1);
vt2=(v1+amax*(t-t1)).*(t>=t1 & t<t2);
vt3=(vmax-1/2*J*(t3-t).^2).*(t>=t2 & t<t3);
vt4=vmax.*(t>=t3 & t<t4);
vt5=(vmax-1/2*J*(t-t4).^2).*(t>=t4 & t<t5);
vt6=(v2-amax*(t-t5)).*(t>=t5 & t<t6);
vt7=(1/2*J*(t7-t).^2).*(t>=t6 & t<t7);

vt=vt1+vt2+vt3+vt4+vt5+vt6+vt7;     %各时刻速度

S=zeros(1,length(t));       %各时刻位移
for i=2:length(t)
    S(i)=trapz(t(1:i),vt(1:i));
end 

%各时刻xyz的位移
x_s=xyz_start(1)+(xyz_end(1)-xyz_start(1))/L*S;     
y_s=xyz_start(2)+(xyz_end(2)-xyz_start(2))/L*S;
z_s=xyz_start(3)+(xyz_end(3)-xyz_start(3))/L*S;

%各时刻xyz轴的速度分量
v_x=(xyz_end(1)-xyz_start(1))/L*vt;
v_y=(xyz_end(2)-xyz_start(2))/L*vt;
v_z=(xyz_end(3)-xyz_start(3))/L*vt;

3.被控对象：速度雅各比矩阵

速度雅各比矩阵方法的关系表达式如下：
$$v=J(q)\dot{q}$$
前者$v$是末端执行器的速度，后者$\dot{q}$是关节角速度。表达式的物理意义是：当关节角度发生一个微小的变化$△q$,末端执行器也会相应产生一个微小的位姿变化$△x$。
速度的雅各比矩阵的求解方法有多种，如1.向量积方法 2.微分法 等等…
本文采用向量积的方法，求解方法如下。

$$\begin{gathered} J(q)=\left[\begin{array}{c}{J}_v\\ J_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{J}_1& J_2& J_3& J_4& J_5& J_6\end{array}\right] \\ {J}_i=\left[\begin{array}{c}{Z}_{i-1}\times r_{i-1}\\ Z_{i-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_{i-1}\times (P_n-P_{i-1})\\ Z_{i-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$
本文采用的机械臂有6个关节角，因此其速度雅各比矩阵有6列，分别为$J_i$。本文的机械臂有6个自由度，因此对应的矩阵为6行。
每个雅各比矩阵分量$J_i$的后三行为$\{i-1\}$坐标系相对于世界坐标系的$Z$轴分量；分量$J_i$的前三行为$Z_{i-1}$与$r_{i-1}$的差乘，$r_{i-1}$是末端坐标系与$\{i-1\}$坐标系的相对位置在世界坐标系中的表示。
这种方法求解只适用于standard DH方法建模的模型，若使用modify DH方法建模，则需对上式的下标做一定修改。
此方法的matlab代码实现如下：

function [ J ] = Jacob_cross_SDH( q )
%JACOB_CROSS_SDH 函数摘要
%   输入q0为逼近角，单位为弧度，矩阵大小1*6;
%   输出J为速度雅各比矩阵，矩阵大小6*6；
%   说明：利用向量积的方法求解系统的雅各比矩阵，方法1和方法2任选一种
%   说明：此求解方法基于SDH参数建模，若MDH方法建模，需进行一定的下标改动

d=[105.03,0,0,75.66,80.09,44.36];
a=[0,-174.42,-174.42,0,0,0];
alp=[pi/2,0,0,pi/2,-pi/2,0];
offset=[0,-pi/2,0,-pi/2,0,0];
thd=q+offset;

% 求各个关节间的变换矩阵
T0=trotz(0)*transl(0,0,0)*trotx(0)*transl(0,0,0);
T1=trotz(thd(1))*transl(0,0,d(1))*trotx(alp(1))*transl(a(1),0,0);
T2=trotz(thd(2))*transl(0,0,d(2))*trotx(alp(2))*transl(a(2),0,0);
T3=trotz(thd(3))*transl(0,0,d(3))*trotx(alp(3))*transl(a(3),0,0);
T4=trotz(thd(4))*transl(0,0,d(4))*trotx(alp(4))*transl(a(4),0,0);
T5=trotz(thd(5))*transl(0,0,d(5))*trotx(alp(5))*transl(a(5),0,0);
T6=trotz(thd(6))*transl(0,0,d(6))*trotx(alp(6))*transl(a(6),0,0);

% 求各个关节相对于惯性坐标系的变换矩阵
T00 = T0;
T01 = T1;
T02 = T1*T2;
T03 = T1*T2*T3;
T04 = T1*T2*T3*T4;
T05 = T1*T2*T3*T4*T5;
T06 = T1*T2*T3*T4*T5*T6;

% 求各个关节相对于末端坐标系的变换矩阵
T06 = T1*T2*T3*T4*T5*T6;
T16 = T2*T3*T4*T5*T6;
T26 = T3*T4*T5*T6;
T36 = T4*T5*T6;
T46 = T5*T6;
T56 = T6;

% 提取各变换矩阵的旋转矩阵
R00 = t2r(T00);
R01 = t2r(T01);
R02 = t2r(T02);
R03 = t2r(T03);
R04 = t2r(T04);
R05 = t2r(T05);
R06 = t2r(T06);

% 取旋转矩阵第3列，即Z轴方向分量
Z0 = R00(: , 3);
Z1 = R01(: , 3);
Z2 = R02(: , 3);
Z3 = R03(: , 3);
Z4 = R04(: , 3);
Z5 = R05(: , 3);
Z6 = R06(: , 3);

%% Method.1
% 求末端关节坐标系相对于前面各个坐标系的位置，即齐次变换矩阵的第四列
% pi6为坐标系i和末端坐标系的相对位置在坐标系i下的表示
P06 = T06(1:3, 4);
P16 = T16(1:3, 4);
P26 = T26(1:3, 4);
P36 = T36(1:3, 4);
P46 = T46(1:3, 4);
P56 = T56(1:3, 4);
P66 = [0; 0; 0];

% 使用向量积求出雅可比矩阵
% R0i为坐标系0到坐标系i的旋转矩阵
% R0i*Pi6指坐标系i和末端坐标系的相对位置在0坐标系下的表示
J1 = [cross(Z0, R00*P06); Z0];
J2 = [cross(Z1, R01*P16); Z1];
J3 = [cross(Z2, R02*P26); Z2];
J4 = [cross(Z3, R03*P36); Z3];
J5 = [cross(Z4, R04*P46); Z4];
J6 = [cross(Z5, R05*P56); Z5];

%% Method.2

% % pi为坐标系i与世界坐标系0的相对位置
% p0=transl(T00);
% p1=transl(T01);
% p2=transl(T02);
% p3=transl(T03);
% p4=transl(T04);
% p5=transl(T05);
% p6=transl(T06);
% 
% % p6-pi为i坐标系指向末端坐标系的向量
% % p6-pi即为末端坐标系与i坐标系相对位置在世界坐标系中的表示
% % Ji=[Jv;Jw]    对应六自由度的速度分量和旋转分量
% J1 = [cross(Z0, p6-p0); Z0];
% J2 = [cross(Z1, p6-p1); Z1];
% J3 = [cross(Z2, p6-p2); Z2];
% J4 = [cross(Z3, p6-p3); Z3];
% J5 = [cross(Z4, p6-p4); Z4];
% J6 = [cross(Z5, p6-p5); Z5];


J = [J1, J2, J3, J4, J5, J6];

end

4.控制器：等速率趋近的滑模控制器

控制器的输入为位姿误差$e=x_d-x$,输出为关节角的增量$\dot{q}$，因此控制器满足关系：
$$u=\dot{q}=f\_SMC(e)$$
为此需求设计滑模控制器$f\_SMC$。
设计滑模面：
$$\begin{gathered} s=ce \\ e=x_d-x \end{gathered}$$
设计趋近率为等速趋近率：
$$\dot{s}=-\xi sgns$$
推导得到控制器输出$u$：
$$\begin{gathered} \dot{s}=c\dot{e}=-\xi sgns \\ \dot{e}={\dot{x}}_d-\dot{x}=-\frac{1}{c}\xi sgns \\ v=v_d+\frac{1}{c}\xi sgns \\ u=\dot{q}=J^{-1}(q)v=J^{-1}(v_d+\frac{1}{c}\xi sgns) \end{gathered}$$
matlab代码实现如下：

dth = [0; 0; 0; 0; 0; 0];
th = [0; 0; 0; 0; 0; 0];

x=[xyz_start';0;0;0];        %其实时刻的位姿

lamda=1;		%阻尼矩阵的系数

k = 0.1;
ita = 0.0002;
c = 5;

e = [0; 0; 0; 0; 0; 0];
de = [0; 0; 0; 0; 0; 0];
for i = 1 : length(t)
    xd=[x_s(i);y_s(i);z_s(i);0;0;0];     %期望位姿
    dxd=[v_x(i);v_y(i);v_z(i);0;0;0];	%期望速度

    q=th(:, i);

    Jac = Jacob_cross_SDH(q');	%求解当前角度下的雅可比矩阵

    e(:, i) = xd - x(:,i);      %误差
    s = c*e(:, i);      %滑模面
    v=dxd + (1/c)*ita*sign(s);    %机械臂的末端实际速度
    
    de(:, i) = dxd - v;     %误差的微分
    dth(:, i) = inv(Jac+lamda.*diag(ones(1,6)))*v;      %关节角的增量
    th(:, i + 1) = th(:, i) + dth(:, i)*0.1;    %下一时刻的关节角度
    x(:, i+1) = x(:, i) + v*0.1;    %机械臂末端实际位姿
end

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5.结果展示

设定轨迹跟踪起始点和终点：
$$\left[\begin{array}{c}0\\ -120.02\\ 533.96\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}-30\\ -45\\ 385\end{array}\right]$$
$10s$内的末端轨迹位置在各坐标轴的映射：

$10s$内系统跟踪末端轨迹位置的误差：

$10s$内各个关节角的角度：

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源代码下载链接：https://github.com/Fantasty9413/Trajectory-tracking-