数据结构--并查集

数据结构–并查集

数据结构--并查集_第1张图片

逻辑结构―—“集合”

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所有元素的全集s

将各个元素划分为若干个互不相交的子集

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用互不相交的树,表示多个“集合”

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“并查集”的存储结构

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用一个数组S[ ]即可表示“集合”关系

‘并查集”的基本操作

集合的两个基本操作―— “并” \color{red}“并” “查” \color{red}“查”
Find -—“查”操作:确定一个指定元素所属集合
Union --“并”操作:将两个不想交的集合合并为一个
注:并查集(Disjoint Set)是逻辑结构――集合的一种具体实现,只进行“并”和“查”两种基本操作

并查集”的代码实现―—初始化

#define SIZE 13
int UFSet[SIZE];

void Initial(int S[])
{
    for (int i = 0; i < SIZE; i++)
        S[i] = -1;
}

“并查集”的代码实现――并、查

int Find(int S[], int x)
{
    while (S[x] >= 0) //循环寻找x的根
        x = S[x];
    return x;
}
void Union(int S[], int Root1, int Root2)
{
    //要求Root1与Root2是不同的集合
    if (Root1 == Root2)
        return;
    //将根Root2连接到另一根Root1下面
    S[Root2] = Root1;
}

时间复杂度分析

Union 时间复杂度O(1)

找到 J 所属的集合

较好情况:

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最坏情况:
高度 h = n

若结点数为n,Find 最坏时间复杂度为 O ( n ) \color{red}最坏时间复杂度为O(n) 最坏时间复杂度为O(n)

Union操作的优化

优化思路:在每次Union操作构建树的时候,尽可能让树不长高高
①用根节点的绝对值表示树的结点总数 \color{red}①用根节点的绝对值表示树的结点总数 用根节点的绝对值表示树的结点总数
② U n i o n 操作,让小树合并到大树 \color{red}②Union操作,让小树合并到大树 Union操作,让小树合并到大树

void Union(int S[], int Root1, int Root2)
{
    //要求Root1与Root2是不同的集合
    if (Root1 == Root2)
        return;
    if(S[Root2] > S [Root1]) //Root2结点数更少
    { 
        S[Root1] += S[Root2]; //累加结点总数
        S[Root2] = Root1; //小树合并到大树
    }
    else
    {
        S[Root2] += S[Root1]; //累加结点总数
        S[Root1] = Root2 ; //小树合并到大树
    }
}

Union操作优化后,Find操作最坏时间复杂度: O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)
该方法构造的树高不超过 ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 \lfloor\log_{2}n\rfloor+1 log2n+1

知识点回顾与重要考点

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