蚁群算法（Ant Colony Optimization ， ACO）

作者：非妃是公主
专栏：《智能优化算法》
博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

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序

蚁群算法（Ant Colony Optimization ， ACO）也是一种群体智能算法，主要模拟了蚂蚁的觅食行为来解决离散优化问题，非常经典的就是TSP问题，它可以很好地解决。（收敛性很好，性能很好）

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一、蚁群觅食过程

蚂蚁觅食完全是随机选择路径，但是，他们会释放一种化学性物质——信息素。信息素会随着时间的推移而消逝，蚂蚁会在路径中不断释放信息素。如果每只蚂蚁在单位距离留下的信息素相同，那么较短路径上残留的信息素浓度就会相对较高，这被后来的蚂蚁选择的概率就大，从而导致了一个正反馈的过程。

这里存在一个问题，为什么越短的路径信息素浓度就会越高呢？ 本人在学习这个算法的时候是有这个疑问的，直到我看到了下面这种图。

其中圆圈代表蚂蚁释放的信息素，A和D是起点和终点，两只蚂蚁选择不同的路径去走。

假设他们速度相同，这时候你会发现，路径短的那只蚂蚁已经走到终点了，但是路径长的蚂蚁还在半路上。

注意，这时候选择B路劲的蚂蚁要搬着食物回来了，如下图：

在这种情况下，信息素浓度就发现了明显的差异。后面其它蚂蚁会受到高浓度信息素的影响，他们会更倾向于选择B路径。因此，信息素浓度差就拉开了，最终信息素含量最高的那条路，就是最短的（最优点）。

这就很好地回答了上面的疑问，简言之，蚂蚁不仅要去，还要回来呀，回来使得最短路径的信息素浓度高于其它路径了。

根据这个原理，我们就设计出了蚁群算法（Ant Colony Optimization ， ACO），算法的具体原理如下。

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二、算法原理

蚂蚁对路径的选择主要依据信息素，信息素的变化主要有以下 2 个原因：

• 挥发：信息素会随着时间的推移而衰减。
• 增强：会随着蚂蚁走过这条路径而增强。

每只蚂蚁根据信息素浓度和启发式信息选择下一步怎么走。

根据这两个因素，我们可以得到下一步走各个城市的概率，如下：

$$p_{i,j}^k(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{[{\tau }_{i,j}(t){]}^{\alpha }[{\eta }_{i,j}(t){]}^{\beta }}{{\sum }_{s\in J_k(i)}[{\tau }_{is}(t){]}^{\alpha }\cdot [{\eta }_{is}{]}^{\beta }},& 当j\in J_k(i)时\\ 0,& 其它\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，$J_k(i)=\{1,2,...,n\}$表示蚂蚁 k 允许选择的城市集合（走过了的城市这一次周期就不会再走了，不放在 $J_k$ 中）；

${\tau }_{i,j}(t)$表示蚂蚁第 $t$ 次迭代时候，地点 $i$ 到地点 $j$ 上的信息素浓度；

${\eta }_{i,j}$ 是一个启发式因子，表示蚂蚁从城市 i 到城市 j 之间的距离倒数，通常用城市 i 到城市 j之间距离的倒数来表示。

各路径上的信息素更新如下：

$${\tau }_{i,j}(t+1)=(1-\rho )\cdot {\tau }_{i,j}(t)+\Delta {\tau }_{i,j}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中，$\rho$（$0<\rho <1$）表示信息素浓度的衰减系数，$1-\rho$表示信息素浓度的持久性系数；$\Delta {\tau }_{i,j}$表示本次迭代中边 ij 上信息素的增量，即：

$$\Delta {\tau }_{i,j}=\sum _{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}^k\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$\Delta {\tau }_{ij}^k$ 表示第 k 只蚂蚁在本次迭代中留在边 ij 上的信息素量，如果蚂蚁 k 没有经过边 ij，那么 $\Delta {\tau }_{i,j}^k$ 的值为0；

信息素增量 $\Delta {\tau }_{i,j}^k$ 定义如下：

$$\Delta {\tau }_{i,j}^k=\{\begin{array}{ll}\frac{Q}{L_k},& 当蚂蚁k在本次周永中经过边ij时\\ 0,& 其它\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中，Q为正常数，$L_k$表示第k只蚂蚁在本次周游中所走过路径的长度。这个信息素增量模型叫做 ant-cycle 模型。

除此之外，还有其它的信息素增量模型，比如 ant-quantity 模型，如下：

$$\Delta {\tau }_{i,j}^k=\{\begin{array}{ll}\frac{Q}{d_{i,j}},& 当蚂蚁k在本次周永中经过边ij时\\ 0,& 其它\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

ant-density 模型如下：

$$\Delta {\tau }_{i,j}^k=\{\begin{array}{ll}Q,& 当蚂蚁k在本次周永中经过边ij时\\ 0,& 其它\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

但是，试验结果标明，ant-cycle 模型比其它两种模型有更好的性能。这是因为，ant-cycle 模型利用了全局信息更新路径上的信息素量，而 ant-quantity 模型和 ant-density 模型仅使用了局部信息。

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三、算法详细流程

1. 算法伪代码

1. 参数初始化。令时间 t=0，初始化循环次数 $N_c$，设置最大循环次数 $G$，将m各蚂蚁随机至于n个城市上，初始化每条边上的信息素含量等，具体看后面代码。
2. 循环次数$N_c=N_c+1$
3. 蚂蚁的禁忌表索引号 $k=1$。
4. 蚂蚁数目 $k=k+1$
5. 蚂蚁个体根据状态转移概率公式，来选择下一步的城市 $J\in \{J_k(i)\}$
6. 将选择好的城市添加到禁忌表中来。
7. 将所有城市都遍历完，即 $k<m$，跳转到第 4 步，否则执行第 8 步。
8. 记录本次最佳路线。
9. 根据公式（2，3，4）更新每条路径上的信息量。
10. 若满足算法结束条件，即$N_c\ge G$，则结束循环并输出程序优化结果，否则清空禁忌表，跳转到第 2 步开启下一次周游。

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2. 算法流程图

算法流程图，如下图所示：

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四、详细参数设置

这些参数一般都是大了也不行，小了效果也不好，一般经过大量试验，满足一定的统计规律，如下。

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1. 信息素启发式因子 $\alpha$

• 值越大：选择之前走过的路的可能性越大，收敛快，但随机性下降，容易陷入局部最优。
• 值越小：也不行，主要受第二项 $\beta$ 影响，陷入贪婪搜索。

一般取 $[1,4]$ 之间。

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2. 期望启发因子 $\beta$

和上面相互制衡的，所以效果基本就是反着的。

• 值越大：陷入贪婪搜索。
• 值越小：随机性下降，算法缺乏探索性。

一般取值 $[3,5]$。

算法要获得最优解，就要在 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间选择一个比较好的搭配关系，才能避免模型陷入局部最优。

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3. 信息素衰减系数 $\rho$

信息素浓度衰减系数，取 $[0,1]$ 之间的数。

• 值过大：信息素挥发相对变多，随机性强，收敛慢。
• 值过小：挥发相对少，随机性弱，容易陷入局部最优。

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4. 蚂蚁数目 $m$

蚁群算法的种群规模。

• 太大了：不容易收敛，计算时间长；
• 太小了：丧失全局性，陷入局部最优解。

一般取$[10,50]$。

5. 信息素强度 $Q$

可以任意选取，现有研究标明，不会对算法最终结果产生明显影响（因为，我们概率计算的时候是相对的大小，而Q是对所有蚂蚁来讲的一个参数，所以影响有限）

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6. 最大进化代数 $G$

• 太大了，浪费时间和计算资源，收敛慢。
• 太小了陷入局部最优。

一般 G 选择$[100,500]$。

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五、Matlab仿真实例

1. 问题

旅行商问题，假设有一个旅行商人，要拜访全国31个省会城市，他选择所要走的路径，限制是每个城市智能拜访一次，而且最后要回到原来触发的城市。

求解：所有路径中长度最小的路径。

31 个省会城市的位置坐标数据如下：

[1304 2312；3639 1315；4177 2244；3712 1399；3488 1535；3326 1556；3238
1229；4196 1004；4312 790；4386 570；3007 1970；2562 1756；2788 1491；2381
1676；1332 695；3715 1678；3918 2179；4061 2370；3780 2212；3676 2578；4029
2838；4263 2931；3429 1908；3507 2367；3394 2643；3439 3201；2935 3240；3140
3550；2545 2357；2778 2826；2370 2975]

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2. 分析

利用蚁群算法进行求解。

生成 1 个蚂蚁种群，给所有路径初始化信息素浓度。同时，信息素浓度的更新根据蚂蚁的路线。蚂蚁的路线选择又根据信息素浓度和启发因子。

启发因子就是两个省会之间距离的倒数。

这样就将 TSP 问题转换为模拟蚂蚁的觅食过程。

参数设置见代码开头。

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3. Matlab代码实现

matlab源码已经逐行注释，逻辑较为简洁，对算法详细实现感兴趣的话，可以进行阅读。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%蚁群算法解决TSP问题%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;                %清除所有变量
close all;                %清图
clc;                      %清屏
m=50;                     %蚂蚁个数
Alpha=1;                  %信息素重要程度参数              
Beta=5;                   %启发式因子重要程度参数
Rho=0.1;                  %信息素蒸发系数
G_max=200;                %最大迭代次数
Q=100;                    %信息素增加强度系数
C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;...
    3238 1229;4196 1044;4312  790;4386  570;3007 1970;2562 1756;...
    2788 1491;2381 1676;1332  695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;...
    3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376;...
    3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;...
    2370 2975];                 %31个省会城市坐标
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第一步：变量初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=size(C,1);              %n表示问题的规模（城市个数）
D=zeros(n,n);             %D表示两个城市距离间隔矩阵
for i=1:n
    for j=i:n
        if i~=j
            D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5; % 计算两个省会之间的距离
        else
            D(i,j)=eps;                                       % 设置为最接近0的浮点误差
        end
        D(j,i)=D(i,j);                                        % 只需要计算上一半，就可以得出下一半
    end
end
Eta=1./D;                    % Eta为启发因子，这里设为距离的倒数
Tau=ones(n,n);               % Tau为信息素矩阵
Tabu=zeros(m,n);             % 存储并记录路径的生成（禁忌表）
NC=1;                        % 迭代计数器
R_best=zeros(G_max,n);       % 各代最佳路线
L_best=inf.*ones(G_max,1);   % 各代最佳路线的长度
figure(1);                   % 优化解
while NC<=G_max            
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上%%%%%%%%%%%%%%%%
    Randpos=[];
    for i=1:(ceil(m/n))          % 这里是每个城市平均来放置的，做到公平
        Randpos=[Randpos,randperm(n)];
    end
    Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))'; % 把蚂蚁们的起点城市放入禁忌表中去
    %%%%%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游%%%%%%
    for j=2:n
        for i=1:m
            visited=Tabu(i,1:(j-1));  % 已访问的城市
            J=zeros(1,(n-j+1));       % 待访问的城市
            P=J;                      % 待访问城市的选择概率分布
            Jc=1;                     % J 的索引
            for k=1:n                 % 遍历所有城市
                if length(find(visited==k))==0 % 如果没有访问到
                    J(Jc)=k;                   % 把他加入到 J 中去
                    Jc=Jc+1;                   % 更新 Jc
                end
            end
            %%%%%%%%%%%%%%%%%%计算待选城市的概率分布%%%%%%%%%%%%%%%%
            for k=1:length(J)                           % 计算省会城市
                P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)...  % 上一座城市与当前城市的信息素浓度
                    *(Eta(visited(end),J(k))^Beta);     % 上一座城市与当前城市的启发式信息
            end
            P=P/(sum(P));                               % 转化为概率
            %%%%%%%%%%%%%%%%按概率原则选取下一个城市%%%%%%%%%%%%%%%%
            Pcum=cumsum(P);                             % 从前到后进行累加
            Select=find(Pcum>=rand);                    % 进行了一个轮盘赌
            to_visit=J(Select(1));                      % 获取轮盘赌选到的元素
            Tabu(i,j)=to_visit;                         % 第 i 只蚂蚁的第 j 个城市就选择轮盘赌选到的这个
        end
    end
    if NC>=2                                            % 如果有原始数据
        Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:);                       % 这一步就是在这一轮加入了上一轮最好的解
    end
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%第四步：记录本次迭代最佳路线%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    L=zeros(m,1);                           % 用来记录每只蚂蚁这轮走过的距离
    for i=1:m                               % 遍历所有的蚂蚁
        R=Tabu(i,:);                        % 获取这只蚂蚁的路线
        for j=1:(n-1)                       % 遍历这条路线中两两城市之间的边
            L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1));       % 进行累加
        end
        L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));             % 这里加上第一座城市和最后一座城市之间的距离
    end
    L_best(NC)=min(L);                      % 跟踪记录这一轮的最短路径
    pos=find(L==L_best(NC));                % 寻找这一轮最佳的路线索引
    R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:);            % 获取最佳路线，并跟踪记录在 R_best 中
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第五步：更新信息素%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    Delta_Tau=zeros(n,n);                   % 定义信息素的增量
    for i=1:m
        for j=1:(n-1)                       % 第 i 个蚂蚁对它的路线的贡献
            Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=...
                Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);
        end
        Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=...  % 第 i 个蚂蚁对头尾顶点连线的贡献
            Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);
    end
    Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau;             % 更新信息素，持久量 + 增量
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第六步：禁忌表清零%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    Tabu=zeros(m,n);                        % 清空 m 只蚂蚁的禁忌表
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%历代最优路线%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    for i=1:n-1                             % 绘制历代最优路线的图
        plot([ C(R_best(NC,i),1), C(R_best(NC,i+1),1)],... % 绘制 n-1 条边
            [C(R_best(NC,i),2), C(R_best(NC,i+1),2)],'bo-');
        hold on;
    end
    plot([C(R_best(NC,n),1), C(R_best(NC,1),1)],...        % 连接首尾边
        [C(R_best(NC,n),2), C(R_best(NC,1),2)],'ro-');  
    title(['优化最短距离:',num2str(L_best(NC))]);           % title 是这一代的最短距离
    hold off;
    pause(0.005);                                          % 停止 0.005s 给程序员看以下 ^-^
    NC=NC+1;                                               % 更新代数
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第七步：输出结果%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pos=find(L_best==min(L_best));              % 寻找最优索引
Shortest_Route=R_best(Pos(1),:);            % 获取最佳路线
Shortest_Length=L_best(Pos(1));             % 获取最佳路线长度
figure(2),                                  % 增加 1 个 figure，显示适应度曲线变化
plot(L_best)                                % 显示图像
xlabel('迭代次数')                          % x轴标签
ylabel('目标函数值')                         % y轴标签
title('适应度进化曲线')                      % 图标 title

---

4. 求解效果

优化后的最优路线如下：

值得注意的是，蚁群算法在解决TSP问题时收敛性非常好，每次都可以很好地收敛到最优解。

适应度曲线变化如下：

---

the end……

蚁群算法（Ant Colony Optimization ， ACO）到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

我是Cherries，一位计算机科班在校大学生，写博客用来记录自己平时的所思所想！
内容繁杂，又才疏学浅，难免存在错误，欢迎各位大佬的批评指正！
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注：本文由非妃是公主发布于https://blog.csdn.net/myf_666，转载请务必标明原文链接：https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/129507112