高中奥数 2021-11-09

2021-11-09-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题09）

设在中,、和的角平分线分别交的外接圆于、、.求证:.

证明

对四边形应用Ptolemy定理,可得.

图1

令,注意到,有

即.同理可得,,三式相加即得所证结果.

2021-11-09-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题10）

两个凸四边形和的边长分别为、、、和、、、,面积分别为和.证明:.

证明

在边长给定的四边形中,以内接于圆时其面积为最大.

因此,只需证两个凸四边形为圆内接四边形的情况.

这时,

与之类似,其中,

利用算术几何平均值不等式有

$\begin{aligned} & aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}+dd^{\prime}\\ =&\left(s-a\right)\left(s^{\prime}-a^{\prime}\right)+\left(s-b\right)\left(s^{\prime}-b^{\prime}\right)+\left(s-c\right)\left(s^{\prime}-c^{\prime}\right)+\left(s-d\right)\left(s^{\prime}-d^{\prime}\right)\\ \geqslant & 4\left[\left(s-a\right)\left(s^{\prime}-a^{\prime}\right)\left(s-b\right)\left(s^{\prime}-b^{\prime}\right)\left(s-c\right)\left(s^{\prime}-c^{\prime}\right)\left(s-d\right)\left(s^{\prime}-d^{\prime}\right)\right]^{\dfrac{1}{4}}\\ = & 4\sqrt{ss^{\prime}}. \end{aligned}$

2021-11-09-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题011）

已知,设是它的内心,角、、的内角平分线分别与其对边交于、、.

求证:

证明

因为平分,平分,所以,

记,,,,则.

同理,

所以

$\begin{aligned} &\dfrac{AI\cdot BI}{AA^{\prime}\cdot BB^{\prime}}+\dfrac{BI\cdot CI}{BB^{\prime}\cdot CC^{\prime}}+\dfrac{CI\cdot AI}{CC^{\prime}\cdot AA^{\prime}}\\ =&\dfrac{\left(s-a\right)\left(s-b\right)+\left(s-b\right)\left(s-c\right)+\left(c-c\right)\left(s-a\right)}{s^{2}}\\ =&\dfrac{3s^{2}-2\left(a+b+c\right)s+ab+bc+ca}{s^{2}}\\ =&1+\dfrac{ab+bc+ab}{s^{2}} \end{aligned}$

欲证不等式等价于.(1)

因为,

所以,.

所以,此为(1)右端.

另一方面,不妨设,则,,.

又,

所以.

因而,

推出,

故.

此为(1)左端.

2021-11-09-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题12）

设为内部或边上任一点,记,,,

求证:.

证明

如图,分别过、、作、、的垂线,三垂线两两相交于、、,于是,,.

图2

由余弦定理可得

相加并应用第5题嵌入不等式得

$\begin{aligned} &a^{2}+b^{2}+c^{2}\\ =&2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2xy\cos C^{\prime}+2xz\cos B^{\prime}+2yz\cos A^{\prime}\\ \leqslant &2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\ =&3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right). \end{aligned}$

得证.

高中奥数 2021-11-09

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