Replica Wormholes and Island I

k所第一次线下讨论，很热闹，希望以后也会越来越有意思！这次还有接下来几次都会围绕island这个主题，希望能对这个新的工作有比较深的了解，可以获得一些working knowledge 吧。这次算是大家碰个头，讨论一下以后的形式。

Entropy of black hole and Hawking radiation, Page curve

1. radiation
   如何来理解辐射呢？更直观的表述应该是radiation=particle creation +...，所以前提是有粒子的产生。最简单的图像是考虑，自由标量场加一个经典的source。假设在某一时刻我们打开这个源，然后过一段时间再关闭。在打开源之前，场方程的解是一些平面波的叠加。打开源之后，场方程的解可以用格林函数的方法来得到，结果是对平面波场强的增强。如果我们假设在打开源之前的初始条件是场算符作用在真空得到0，也就是没有粒子，那么加入源之后因为这个增强是经典的量，所以作用在同一个真空态的时候就得到一个数，这样的话，就有了粒子的产生。霍金辐射和这个简单的例子类似，只不过经典的源被时空本身也就是黑洞代替。我们可以想象一个从无到有的形成过程，在黑洞形成之前，也就是时空是平坦的时候解出场方程的解，然后在黑洞形成之后，在黑洞的背景下，在重新得到新的场方程的解。然后黑洞背景下解作用在平坦时空的真空态上，如何不为0的话，就说明有粒子的产生。具体计算的时候，我们要比较两个不同背景下的解，所以我们就要找到这个坐标系的转换关系。这里霍金推导最难也是最微妙的地方。问题就是我们怎样把两个坐标匹配起来。这里是用了一个物理的解释：能传播到无穷远出的辐射因为引力的红移所以在它应该具有很高的能量才可以。这些高能量的的粒子可以想象成来自于在视界附近因为引力蓝移积累的粒子。这样考虑的话，我们似乎应该自然的在视界附近来连接之前提到的两个坐标在视界外附近是可以match的，这样我们得到了我们需要的两个坐标之间的关系。

2. entropy
   刚才我们已经说明了霍金辐射，或者说是霍金“粒子产生”，这些粒子就是对应了黑洞背景下场方程的解（或者是它作用在真空态后得到的一个激发态）。这里还有一饿隐藏条件是，这些粒子还需要可以传播到无穷远。如果我们选择一个Cauchy截面并且这个Cauchy面被视界面分成内外两部分，那么这些粒子只能与视界以外Cauchy面上的自由度有关系。因为量子态随时间演化上unitary的，所以我们可以任何一个Cauchy面上去考虑量子态，并在其上计算entropy。因为视界的存在，所有辐射仅仅对应了整个量子态的一部分自由度，所以必然处在一个混态上，所以可以认为霍金辐射的entropy就是视界内外量子场之间的entanglement entropy。

3. Page curve
   按照霍金的计算，霍金辐射的entropy是一直增加的，因为越来越多的物理自由度进入到了视界内部，这里是假设了系统的自由度是无穷的。但是如果我们只考虑有效理论的话，自由度不是无穷的，entropy是上界的。所以当进入视界的自由度达到整体的一半的时候，entropy达到最大值，之后随着霍金辐射的继续，entropy就是要开始减小了。entropy这样开始增加随后减小的行为就称为Page curve。在这个讨论里，一个值得注意的假设就是，entropy是有一个upper bound的或者说物理自由度是有限的。

Island formula

霍金的计算错在哪里了呢？一个关键就是在他的计算里，没有考虑到entropy有upper bound，自由度有上限这个限制。所以就变成怎样把这个限制加到计算里？
比如我们可以考虑场论有一个引力的对偶，因为引力的entropy或者自由度是被area law所bound的，所以自然场论也有一个entropy的bound。当你把越来越多的自由度放到一个区域最后就会形成一个黑洞。如果我们用RT formula 来算entropy的话，因为黑洞的存在，对应的RT surface 可能就会发生改变，从而发生一个相变对应Page curve。如果我们不借助holography呢？我们就需要修改计算entanglement 的公式了，也就是island formula。而island 的一个解释就是利用replace wormhole。