【线性代数】向量函数求偏导的推导过程

推导：计算 $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})$

1. 定义函数：我们定义函数 $f(\mathbf{x})={\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{a}$ 是一个列向量，维度为 $n\times 1$，$\mathbf{x}$ 也是一个列向量，维度为 $n\times 1$。
   
   

2. 展开表达式：将 ${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x}$ 展开为矩阵乘法的形式：
   a ⊤ x = [ a 1 a 2 … a n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n \mathbf{a}^\top \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n a⊤x=[a1​​a2​​…​an​​] ​x1​x2​⋮xn​​ ​=a1​x1​+a2​x2​+…+an​xn​
   
   

3. 求偏导数：计算 $f(\mathbf{x})$ 对 $\mathbf{x}$ 的偏导数。
   $\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})=\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)$
   
   

4. 分别求导：根据矢量微积分的规则，我们可以逐个求解 $a_i{x}_i$ 的偏导数，其中 $i$ 表示向量的索引。

   ∂ ∂ x ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ) = [ ∂ ∂ x 1 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ) ∂ ∂ x 2 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ) ⋮ ∂ ∂ x n ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ) ] \frac{\partial}{\partial \mathbf{x}} (a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} (a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n) \\ \frac{\partial}{\partial x_2} (a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n) \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n} (a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n) \end{bmatrix} ∂x∂​(a1​x1​+a2​x2​+…+an​xn​)= ​∂x1​∂​(a1​x1​+a2​x2​+…+an​xn​)∂x2​∂​(a1​x1​+a2​x2​+…+an​xn​)⋮∂xn​∂​(a1​x1​+a2​x2​+…+an​xn​)​ ​
   
   

5. 求导结果：由于我们对 $x_i$ 求导数时，除了与 $x_i$ 相关的项以外的其他项都是常数，所以求导结果为：
   $\frac{\partial }{\partial x_i}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n)=a_i$
   
   

6. 综合结果：得到最终结果：
   ∂ ∂ x ( a ⊤ x ) = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] = a \frac{\partial}{\partial \mathbf{x}} (\mathbf{a}^\top \mathbf{x}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \mathbf{a} ∂x∂​(a⊤x)= ​a1​a2​⋮an​​ ​=a
   
   

因此，$\frac{\partial }{\partial \mathbf{x}}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{x})$ 的结果是列向量 $\mathbf{a}$。


说明：
这里偏导数的求导结果是一个列向量，它的维度和分母（列向量x）一致。