【学习笔记】CF1783G Weighed Tree Radius

如果$w_v(u)$指代的就是直径，或者说我们再添一项$a_v$，那么我们几乎就做完了。

于是自然而然想到换一个定义：$d(u,v)=\text{dist}(u,v)+a_u+a_v$。

发现这样转化过后，设直径的两个端点为$u,v$，那么$e(x)+w_x=\max (d(u,x),d(v,x))$。最后要求$\min (e_x)$，感觉又不行了！

还可以继续转化！考虑此时第$i$个点对应的树上的节点一定是叶子，那么设这个叶子的父亲为$y$，$e(x)$实际上就等于$\max (d(u,y),d(v,y))$。又因为求的是$\min (e_x)$，所以答案其实就是整棵树中偏心距的最小值！

那么直接用线段树维护直径的两个端点，然后在直径上二分就做完了！

复杂度$O(n\log n)$。

$\text{remark}$ 感觉最近的题目需要转化的地方越来越多了！

#include
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=4e5+5;
int n,Q,a[N];
vector<int>G[N];
int b[N],cnt,ps[N],dep[N];
int fa[N][20];
void dfs(int u,int topf){
    dep[u]=dep[topf]+1;
    fa[u][0]=topf;for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    b[++cnt]=u,ps[u]=cnt;
    for(auto v:G[u]){
        if(v!=topf)dfs(v,u),b[++cnt]=u;
    }
}
int f[N][20],Log[N];
int Max(int x,int y){
    return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
int Lca(int x,int y){
    x=ps[x],y=ps[y];
    if(x>y)swap(x,y);
    int k=Log[y-x+1];
    return Max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]);
}
int dist(pair<int,int>x){
    if(x.fi==x.se)return 0;
    return dep[x.fi]+dep[x.se]-2*dep[Lca(x.fi,x.se)]+a[x.fi]+a[x.se];
}
int dist2(pair<int,int>x){
    return dep[x.fi]+dep[x.se]-2*dep[Lca(x.fi,x.se)]+a[x.fi];
}
pair<int,int>Max(pair<int,int>x,pair<int,int>y){
    if(x==make_pair(0,0)||y==make_pair(0,0))return make_pair(x.fi+y.fi,x.se+y.se);
    return dist(x)>dist(y)?x:y;
}
pair<int,int>t[N<<2];
pair<int,int>merge(pair<int,int>x,pair<int,int>y){
    int a[4]={x.fi,x.se,y.fi,y.se};
    pair<int,int>tmp;
    for(int i=0;i<4;i++){
        for(int j=i+1;j<4;j++){
            tmp=Max(tmp,make_pair(a[i],a[j]));
        }
    }
    return tmp;
}
void pushup(int p){
    t[p]=merge(t[p<<1],t[p<<1|1]);
}
void build(int p,int l,int r){
    if(l==r){
        t[p]=make_pair(l,l);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
    pushup(p);
}
void modify(int p,int l,int r,int x){
    if(l==r)return;
    int mid=l+r>>1;
    x<=mid?modify(p<<1,l,mid,x):modify(p<<1|1,mid+1,r,x);
    pushup(p);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y;cin>>x>>y;
        G[x].pb(y),G[y].pb(x);
    }
    dfs(1,0);for(int i=2;i<=cnt;i++)Log[i]=Log[i/2]+1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)f[i][0]=b[i];
    for(int j=1;j<20;j++){
        for(int i=1;i<=cnt-(1<<j)+1;i++){
            f[i][j]=Max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
    }
    build(1,1,n);
    cin>>Q;
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        int x,v;cin>>x>>v;
        a[x]=v,modify(1,1,n,x);
        int U=t[1].fi,V=t[1].se,diam=dist(make_pair(U,V));
        int lca=Lca(U,V),res=inf;
        if(dist2(make_pair(U,lca))<=diam/2){
            x=V;
            for(int j=19;j>=0;j--){
                if(dep[fa[x][j]]>=dep[lca]&&dist2(make_pair(V,fa[x][j]))<=diam/2){
                    x=fa[x][j];
                }
            }
        }
        else{
            x=U;
            for(int j=19;j>=0;j--){
                if(dep[fa[x][j]]>=dep[lca]&&dist2(make_pair(U,fa[x][j]))<=diam/2){
                    x=fa[x][j];
                }
            }
        }
        res=min(res,max(dist2({U,x}),dist2({V,x})));
        if(dep[fa[x][0]]>=dep[lca])res=min(res,max(dist2({U,fa[x][0]}),dist2({V,fa[x][0]})));
        cout<<res<<"\n";
    }
}