代码随想录day39｜62.不同路径｜63. 不同路径 II ｜Golang

代码随想录day39

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代码随想录day39

62.不同路径

63. 不同路径 II

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62.不同路径

思路

# 深搜

        这道题目，刚一看最直观的想法就是用图论里的深搜，来枚举出来有多少种路径。

        注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步，那么其实机器人走过的路径可以抽象为一棵二叉树，而叶子节点就是终点！

如图举例：

 此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数，代码如下：

class Solution {
private:
    int dfs(int i, int j, int m, int n) {
        if (i > m || j > n) return 0; // 越界了
        if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法，相当于找到了叶子节点
        return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
    }
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1, 1, m, n);
    }
};

大家如果提交了代码就会发现超时了！

        来分析一下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个二叉树。

这棵树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。

        那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树（其实没有遍历整个满二叉树，只是近似而已）

        所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1)，可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是非常大的。

动态规划

        机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。按照动规五部曲来分析：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

        dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2、确定递推公式：

        想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

        此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

        那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3、dp数组的初始化：

        如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

    for i:=0;i

4、确定遍历顺序：

        这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

        这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

5、举例推导dp数组：

 以上动规五部曲分析完毕，Go代码如下：

func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([][]int,m)
    for i:=0;i

63. 不同路径 II

思路

        这道题相对于62.不同路径就是有了障碍。第一次接触这种题目的同学可能会有点懵，这有障碍了，应该怎么算呢？在 62.不同路径 中我们已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。 

 

动规五部曲：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义：

        dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2、确定递推公式：

        递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

        但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3、dp数组如何初始化：

        在62.不同路径 中我们给出如下的初始化：

    dp := make([][]int,m)
    for i:=0;i

        因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

        但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

 下标(0, j)的初始化情况同理。所以本题初始化代码为：

vector> dp(m, vector(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;

        注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作，dp[0][j]同理

4、确定遍历顺序：

        从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}

5、举例推导dp数组：

        拿示例1来举例如题：

        如果这个图看不懂，建议在理解一下递归公式，然后照着文章中说的遍历顺序，自己推导一下​！​

        动规五部分分析完毕，对应Go代码如下：

 

func uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid [][]int) int {
	m, n := len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
	// 定义一个dp数组
	dp := make([][]int, m)
	for i, _ := range dp {
		dp[i] = make([]int, n)
	}
    
	// 初始化, 如果是障碍物, 后面的就都是0, 不用循环了
	for i := 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++ {
		dp[i][0] = 1
	}
	for i := 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i++ {
		dp[0][i] = 1
	}
    
	// dp数组推导过程
	for i := 1; i < m; i++ {
		for j := 1; j < n; j++ {
			// 如果obstacleGrid[i][j]这个点是障碍物, 那么dp[i][j]保持为0
			if obstacleGrid[i][j] != 1 {
				// 否则我们需要计算当前点可以到达的路径数
				dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
			}
		}
	}
	return dp[m-1][n-1]
}





    时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
    空间复杂度：O(n × m)