高中奥数 2022-02-13

2022-02-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P094 习题04）

设,复数;满足:对任意数组,,.都有

证明:.

证明

先证一个引理:,这里求和表示对所有数组进行.

当时,引理显然成立;当时,注意到 $\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(\overline{z}_{1}-\overline{z}_{2}\right)+\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\overline{z}_{1}+\overline{z}_{2}\right)=2\left(z_{1}\overline{z}_{1}+z_{2}\overline{z}_{2}\right)=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)$ (这个结论即:平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和),依此可知引理对成立.

现设引理对n成立,则由
$\begin{aligned} & \sum_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n+1}\right)}\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n+1} z_{n+1}\right|^{2} \\ =& \sum_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)}\left(\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n}+z_{n+1}\right|^{2}+\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n}-z_{n+1}\right|^{2}\right) \\ =& 2 \sum_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)}\left(\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n}\right|^{2}+\left|z_{n+1}\right|^{2}\right) \\ =& 2^{n+1}\left|z_{n+1}\right|^{2}+2 \sum_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)}\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n}\right|^{2} \\ =& 2^{n+1}\left|z_{n+1}\right|^{2}+2^{n+1} \sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2} \\ =& 2^{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}\left|z_{k}\right|^{2} \end{aligned}$
知引理对成立.从而对任意,引理成立.

回到原题,由条件,知
$\sum\limits_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)}\left|\varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n}\right|^{2} \leqslant \sum\limits_{\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)}\left|\varepsilon_{1} \omega_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} \omega_{n}\right|^{2}$
从而由引理得,命题

2022-02-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P095 习题05）

设是一个有个变元的多项式,我们用或代替中所有的变元,若其中的个数为偶数,则的值为正;若其中的个数为奇数,则的值为负.证明:为一个至少次的多项式(即中存在一项,其所有变元的次数和不小于).

证明

明显满足条件的一个多项式是,如果我们能证明中有一项是的倍式(即在该项中都出现),那么的次数不小于.

下面证明加强的结论:中有一项为的倍式.

当时,由条件,,故不为常数,有一项为的倍式,命题成立.

假设命题对符合条件的含个变量的多项式都成立,考虑的情形.

对满足条件的,我们令

它是视为的多项式时(其余变量视为常数),的奇次项的系数和.

由于当都用或代替时,如果的个数为偶数,则,,故;类似地,如果的个数为奇数,那么.利用归纳假设可知中有一项为的倍式.注意到是的每一项乘以的某个奇次幂(不同的项可能幂次不同)求和后得到,所以中有一项为的倍式.

综上可知,命题成立.

2022-02-13-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P095 习题06）

设是一个由非负实数(不全为零)组成的数列,定义

证明:对任意正实数,满足的下标的个数小于.

证明

当时,,若,则满足的下标不存在,此时命题显然,若,恰有一个下标符合要求,由知,命题也成立.

现设命题对都成立,设时,为满足的下标的个数.

如果,那么对数列而言,满足的下标的个数也为,此时由归纳假设知

命题对成立.

如果,那么,存在,使得.对这个,就数列而言,至少有个下标满足,从而,由归纳假设知

于是

故.

命题获证.

高中奥数 2022-02-13

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