高中奥数 2021-11-30

2021-11-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P030 例1）

已知,,求实数使k与同方向或反方向.

分析与解

由题意得k,所以,解得.

2021-11-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P031 例2）

如图,点在所在平面上,.

图1

求证:点在直线上的充要条件是.

分析与解

(1)若,则,故、、共线;

(2)若、、共线,则存在实数,使.

即,所以,.从而,即,证毕.

2021-11-30-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P031 例3）

中,点为外心,为垂心,求证.

分析与解*

作直径,连接、,有,,,,.

故,,得是平行四边形,进而.

又,得,证毕.

2021-11-30-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P031 例4）

设直线:(其中、为整数)与椭圆交于不同两点、,与双曲线交于不同两点、,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

分析与解

由消去y化简整理得

设、,则.

由消去化简整理得

设、,则.

因为,所,此时.由得

所以或.由上式解得或.当时,由(1)和(2)得.因是整数,所以的值为.当时,由(1)和(2)得.因是整数,所以的值为.

于是满足条件的直线共有条.

2021-11-30-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P032 例5）

是否存在个平面向量,两两不共线,其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂直?

分析与解

在正中,为内心,为内切圆周上一点,满足、、、两两不共线,则

$\begin{aligned} &\left(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right)\cdot\left(\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PO}\right)\\ =&\left(\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OB}\right)\cdot \left(\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {PO}\right)\\ =&\left(2\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\right)\cdot \left(2\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OC}\right)\\ =&\left(2\overrightarrow {PO}-\overrightarrow {OC}\right)\cdot \left(2\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OC}\right)\\ =&4\overrightarrow {PO}^{2}-\overrightarrow {OC}^{2}\\ =&4|PO|^{2}-|OC|^{2}\\ =&0. \end{aligned}$

即.

同理可证其他情况,从而、、、符合题意.

注本题属于构造性问题,利用向量和的定义将一个向量拆成多个向量和的技巧,望读者切实掌握.

2021-11-30-06

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P032 例6）

如图,在的内部任选点,证明:,其中、、分别为、、的面积.

图2

分析与解

如图,设、、上的单位向量分别为、、,作,使,,,则 , ,.

图3

因为,所以.

设为的外接圆半径,则

$\begin{gathered} 2 R \sin \alpha \cdot \vec{e}_{1}+2 R \sin \beta \cdot \overrightarrow{e_{2}}+2 R \sin \gamma \cdot \overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0} ,\\ \sin \alpha \cdot \overrightarrow{e_{1}}+\sin \beta \cdot \overrightarrow{e_{2}}+\sin \gamma \cdot \overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0} .\\ \frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \cdot|O C| \cdot \sin \alpha \overrightarrow{e_{1}}+\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \cdot|O C| \cdot \sin \beta \overrightarrow{e_{2}} +\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \cdot|O C| \cdot \sin \gamma \overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0}, \\ \left(\frac{1}{2}|O B| \cdot|O C| \sin \alpha\right)\left(|O A| \cdot \overrightarrow{e_{1}}\right)+\left(\frac{1}{2}|O A| \cdot|O C| \sin \beta\right)\left(|O B| \cdot \vec{e}_{2}\right) +\left(\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \sin \gamma\right)\left(|O C| \cdot \overrightarrow{e_{3}}\right)=\overrightarrow{0}, \end{gathered}$

所以,证毕.

2021-11-30-07

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P033 例7）

设是内部一点.证明:存在正整数、、,使得

分析与解

由条件可知存在正实数,使得,于是对任意正整数,都有,记,,这里表示不超过实数的最大整数,.

利用,都是正实数可知和都是关于正整数的严格递增数列,这里是某个大于的正整数.因此

$\begin{aligned} &\left| kT\cdot \overrightarrow {OA}+m\left(kT\right)\cdot \overrightarrow {OB}+n\left(kT\right)\cdot \overrightarrow {OC}\right|\\ =&\left|-\left\{kT\beta\right\}\overrightarrow{OB}-\left\{kT\gamma\right\}\overrightarrow{OC}\right|\\ \leqslant &\left\{kT\beta\right\}\left|\overrightarrow {OB}\right|+\left\{kT\gamma\right\} \left|\overrightarrow {OC}\right|\\ \leqslant &\left|\overrightarrow {OB}\right|+\left|\overrightarrow {OC}\right|. \end{aligned}$

这表明有无穷多个向量的终点落在一个以为圆心,为半径的圆内,因此,其中必有两个向量的终点之间的距离小于也就是说,这两个向量的差的模长小于,即存在正整数,使得

$\left|\left(k_{2}T\cdot \overrightarrow {OA}+m\left(k_{2}T\right)\cdot \overrightarrow {OB}+n\left(k_{2}T\right)\cdot \overrightarrow {OC}\right)-\left(k_{1}T\cdot \overrightarrow {OA}+m\left(k_{1}T\right)\cdot \overrightarrow {OB}+n\left(k_{1}T\right)\cdot \overrightarrow {OC}\right)\right|<\dfrac{1}{2007}.$

于是,令,,,结合与、的单调性可知、、都是正整数,证毕.

高中奥数 2021-11-30

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