最短路问题总结

目录

1、单源最短路问题

1.1、没有负权值

1.1.1、Dijkstra算法

1.1.2、堆优化的Dijkstra算法

1.2有负权值

1.2.1、Bellman-Ford算法

1.2.2、SPFA算法

2、多源汇最短路问题

Floryd算法

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1、单源最短路问题

单源最短路问题，也可以变为一个多源最短路，只需要加一个虚拟原点指向所有的边就行。

也可以解决一个点到其它所有点的最短距离。

1.1、没有负权值

1.1.1、Dijkstra算法

时间复杂度：o(n*n*m)

int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int djs()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
	for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
		st[t] = true;
	}
	if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
	return dist[n];
}

1.1.2、堆优化的Dijkstra算法

时间复杂度：o(m*logn) m为边数n为顶点数。

#define x first
#define y second
typedef pair pii;
bool st[N] = {false};
int djs()
{
	priority_queue, vector, greater> yi;
	yi.push({0, 1});

	while(yi.size())
	{
		pii t = yi.top();
		yi.pop();
		if(st[t.y]) continue;
		st[t.y] = 1;
		if(t.y == n)
		{
			return t.x;
		}
		for(int i = h[t.y]; i != -1; i = ne[i])
		{
			if(st[e[i]]) continue;
			yi.push({t.x + w[i], e[i]});
		}
	}
}

1.2有负权值

1.2.1、Bellman-Ford算法

时间复杂度：o(n*m)  分别为边数和顶点数。

该算法也可以在限制最多走的边数情况下的最短路。

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}
// yxc模板

1.2.2、SPFA算法

时间复杂度为o(n)~o(nlogn)

#define x first
#define y second
typedef pair pii;
const int N = 1e5+ 10;
int n, m, dist[N];
vector o[N]; // first 为指向的顶点，second 为权值
bool st[N];
void spfa(int a) // 该板子是用vector建的图，时间肯定没有邻接表快。直需要改一下建图方式即可。
{
	queue yi;
	yi.push(1);
	st[1] = 1;
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
	while(yi.size())
	{
		int x = yi.front();
		yi.pop();
		st[x] = 0;
		for(auto i : o[x])
		{
			int j = i.x;
			if(dist[j] > dist[x] + i.y)
			{
				dist[j] = dist[x] + i.y;
				if(!st[j])
				{
					yi.push(j);
					st[j] = 1;
				}
			}
		}
	}
}

2、多源汇最短路问题

Floryd算法

时间复杂度：o(n^3)

void floyd() // 求得任意两点之间的最短距离
{
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 初始化
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			if (i == j) d[i][j] = 0;
			else d[i][j] = INF;
			
	for (int k = 1; k <= n; k ++ )
		for (int i = 1; i <= n; i ++ )
			for (int j = 1; j <= n; j ++ )
				d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}