SCUACM2023集训前训练-数据结构
文章目录
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- 引言
- M-等价关系，并查集
- Z-线段树模板：区间加、区间查询，两种维护方式
- AA-lg3396-分块
- AE-每次选两个，抛弃一个的过程，可以建模为树
- AF-约瑟夫环结论+线段树
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- 普通线段树
- zkw线段树
- zkw线段树-最简版
引言
传送门
本文juejin：https://juejin.cn/post/7224886702883160120/
本文CSDN：https://blog.csdn.net/hans774882968/article/details/130312953
作者：hans774882968以及hans774882968以及hans774882968
M-等价关系，并查集
交换操作是“等价关系”的经典模型，就连LC都考过，回去看了一下才发现是同一道题……《离散数学》中等价关系的定义：
- 自反性：
x = x - 对称性：
x = y => y = x - 传递性：
x = y, y = z => x = z
交换操作满足传递性的证明，就是找到1 2 3 -> 3 2 1的一种方式，如下：1 2 3 -> 1 3 2 -> 3 1 2 -> 3 2 1。故“可交换”是等价关系。把等价关系看成无向边，则可以得到一系列连通分量，每个连通分量的元素两两可交换，即每个连通分量内部的元素可以任意排序。最后只需要求每个连通分量下标值和p[]值的交集。
#include Z-线段树模板：区间加、区间查询，两种维护方式
无论考虑维护前缀和还是差分数组，发现树状数组都无法优化到nlogn。但线段树有这个能力。线段树节点维护一个区间的1的个数和懒标记：
struct Node {
int c, tg, len;
} nd[N << 2];
懒标记nd[x].tg表示对区间进行若干次操作后相当于区间异或nd[x].tg。那么区间查询操作就是查询nd[x].c，区间修改操作就是修改c属性nd[x].c = nd[x].len - nd[x].c。
懒标记还有一个小问题：nd[x].tg需要选取一个0和1以外的值来表示区间没有被修改过吗？不需要，因为异或的性质，区间修改两次和区间没修改过没有任何区别。
#include 还有一个不需要用到nd[x].len的线段树做法：维护区间0和1的个数c0, c1，则区间异或1的操作，相当于c0, c1交换。
#include AA-lg3396-分块
有两种暴力做法：
- 不维护数据结构，直接修改原数组。
x较大时，复杂度较低。 - 维护
sum[x][y]表示模x时y池的总和。查询O(1)但修改复杂度高。x较小时好。
我们考虑将两种做法结合起来，x较小使用做法2，否则使用做法1。这就是分块的思想。注意：需要同时维护原数组和sum[x][y]。代码很简单，就不写了。
AE-每次选两个，抛弃一个的过程，可以建模为树
这题描述了每次选两个并抛弃一个的过程。这个过程可以建模为树：每次选择就是连一次有向边，被抛弃的为儿子。知道这个模型，这题就可以秒掉了：因为没有选择上的性质，所以相当于在一个完全图中求最大生成树。代码很简单，就不写了。
AF-约瑟夫环结论+线段树
考虑一个01数组，存活的人为1，每轮要把某个1修改为0。设需要维护的全局变量now为：这一轮从第now个1所在的下标开始报数（0-indexed），根据定义，初值now = 0。并约定每一轮的操作为：先根据now求出下一轮的now1，再根据now1找到这一轮要修改为0的下标，这个下标记为idx（0-indexed）。所求即idx + 1。设这一轮要修改为0的下标是第now0个1（0-indexed）。因为下一轮比这一轮少了一个1，所以now1等于now0，所以上述约定是合理的。
举个例子：
7 4
5
9
8
5
// 5 1 4 6
a[] = 1 1 1 1 1 1 1。样例第1轮表示把a[4]修改为0，1 1 1 1 0 1 1，则now = 4, idx = 4。第2轮把a[0]修改为0，0 1 1 1 0 1 1，now = 0, idx = 0。第3轮把a[3]修改为0，0 1 1 0 0 1 1，now = 3, idx = 3。第4轮把a[5]修改为0，0 1 1 0 0 0 1，now = 3, idx = 5。
不难归纳出要进行的操作：now1 = (now + k - 1) % n, n -= 1，n表示当前所剩1的个数。因此我们需要一个数据结构，能够：
- 单点修改。
- 求出第
now个1所在的下标。
在线段树上二分即可。但因为只需要单点修改，所以可以用一种码量更少的非递归线段树来实现，名为zkw线段树。zkw线段树的思想如下：把二叉树补全为满二叉树，利用这条性质：当二叉树是1-indexed，则x左右孩子可表示为x << 1, x << 1 | 1。于是走向左右孩子和走向父亲的操作都很简单。
普通线段树
注意：上述描述是0-indexed，我实现的线段树输入约定为1-indexed。
#include zkw线段树
注意zkw线段树有补全为满二叉树的操作，空间要求是2的幂。
#include zkw线段树-最简版
和上面的代码等价，只不过做了些简化。
#include