day50 | 123.买卖股票的最佳时机III、188.买卖股票的最佳时机IV
目录：
解题及思路学习
123.买卖股票的最佳时机III
https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
给定一个数组，它的第 **i 个元素是一支给定的股票在第 i **天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
思考：因为最多能完成两笔交易，所以可以用一个容器（栈或者队列）将每次买卖的利润存起来。先保存前两次买卖能赚的利润。后面只有当利润比其中一个大的时候，就弹出小的，并保存该利润。
随想录：关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：
-
确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。
-
确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
-
dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
-
确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
-
举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tPzZqIG7-1689143254107)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/9bee3bde-0597-4b91-9e54-e6f608979bc9/Untitled.png)]
// 版本一
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0) return 0;
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[prices.size() - 1][4];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n × 5)
空间优化的写法：
// 版本二
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(5, 0);
dp[1] = -prices[0];
dp[3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
}
return dp[4];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
188.买卖股票的最佳时机IV
https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
给定一个整数数组 prices ，它的第 **i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i **天的价格，和一个整型 k 。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
思考：感觉这个贪心算法的思路挺好的，求每天的正利润。如果按照dp的思路，对于k次买卖，总共就有2k种状态。对于每一个内部的可以再组成一个循环。
随想录：
动规五部曲，分析如下：
-
确定dp数组以及下标的含义
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
-
确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
-
dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
-
确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
-
举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VxniD81u-1689143254111)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/7adc1ffd-4d76-44a2-b89e-ca4a3f107b19/Untitled.png)]
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0) return 0;
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}
for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.size() - 1][2 * k];
}
};
- 时间复杂度: O(n * k)，其中 n 为 prices 的长度
- 空间复杂度: O(n * k)
主要是讲股票问题三种的代码给抽象出来。用k代替次数。
知识点记录
知识点
动态规划-股票问题。
股票问题是一个系列，每一天的股票可能有多个状态。套路都差不多。
个人反思
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