【专题复习】微分方程重点知识整理

一阶微分方程

这个模块中，一阶线性微分方程是重点。

这个公式是非齐次和齐次通用，Q(x)等于0时，方程退化为齐次方程。

高阶线性方程

齐次通解

尤其注意三角函数α+βi。
α放在e的头上（在外面），β放在三角函数中，两个任意常数（二阶）。
而常数就是e的0次方即α是0。

非齐次特解

右面的函数是x的多项式时的特解情况

1. 首先就是模仿一个x的多项式
2. 将e的多少次方模仿右边设出来
3. λ和特征值重复几次，前面乘以x的几次方。如果没重复，就是x的0次方。

右面的函数是三角函数时的特解情况

1. 首先是模仿两个x的多项式，三角函数设的时候永远是cos，sin两个。次数按最高次，然后是两个不同的多项式。
2. 将e的多少次放模仿右边设出来
3. 看α+iβ是几重特征根，0次，k=0，1次，k=1。
   也就是说，这个三角函数前面的k最多是1。

比较一下两个特解的异同

1. 都是模仿多项式，但是第一种情况只需要模仿一个多项式，第二种情况是 1. 两个 2. 不同的多项式 3. 分别乘以 cosβx和sinβx。

2. 都是将e的多少次方模仿右边设出来

3. 都是看特征值重复几次，然而第一种情况是单纯看λ重复几次（取值0，1，2），第二种情况是看α+iβ重复几次（取值0，1）。注意三角函数的特解永远设不到x的二次方。

总结

微分方程的知识重在记忆性，一段时间不做难免会忘记，应该定时做一做，可以加深记忆。