【1802. 有界数组中指定下标处的最大值】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

给你三个正整数 n、index 和 maxSum 。你需要构造一个同时满足下述所有条件的数组 nums（下标 从 0 开始 计数）：

• nums.length == n
• nums[i] 是 正整数 ，其中 0 <= i < n
• abs(nums[i] - nums[i+1]) <= 1 ，其中 0 <= i < n-1
• nums 中所有元素之和不超过 maxSum
• nums[index] 的值被 最大化

返回你所构造的数组中的 nums[index] 。

注意：abs(x) 等于 x 的前提是 x >= 0 ；否则，abs(x) 等于 -x 。

示例 1：

输入：n = 4, index = 2,  maxSum = 6
输出：2
解释：数组 [1,1,2,1] 和 [1,2,2,1] 满足所有条件。不存在其他在指定下标处具有更大值的有效数组。

示例 2：

输入：n = 6, index = 1,  maxSum = 10
输出：3

提示：

• 1 <= n <= maxSum <= 10⁹
• 0 <= index < n

方法：贪心 + 二分查找

思路

  根据题意，需要构造一个长度为 n 的数组 nums，所有元素均为正整数，元素之和不超过 maxSum，相邻元素之差不超过 1，且需要最大化 nums[index]。根据贪心的思想，可以使 nums[index] 成为数组最大的元素，并使其他元素尽可能小，即从 nums[index] 开始，往左和往右，下标每相差 1，元素值就减少 1，直到到达数组边界，或者减少到仅为 1 后保持为 1 不变。

  根据这个思路，一旦 nums[index] 确定后，这个数组的和 numsSum 也就确定了。并且 nums[index] 越大，数组和 numsSum 也越大。据此，可以使用二分搜索来找出最大的使得 numsSum ≤ maxSum 成立的 nums[index]。

  代码实现上，二分搜索的左边界为 1，右边界为 maxSum。函数 valid 用来判断当前的 nums[index] 对应的 numsSum 是否满足条件。numsSum 由三部分组成，nums[index]，nums[index] 左边的部分之和，和 nums[index] 右边的部分之和。cal 用来计算单边的元素和，需要考虑边界元素是否早已下降到 1 的情况。

代码：

class Solution {
public:
    int maxValue(int n, int index, int maxSum) {
        int left = 1, right = maxSum;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right + 1) / 2;
            if (valid(mid, n, index, maxSum)) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }

    bool valid(int mid, int n, int index, int maxSum) {
        int left = index;
        int right = n - index - 1;
        return mid + cal(mid, left) + cal(mid, right) <= maxSum;
    }

    long cal(int big, int length) {
        if (length + 1 < big) {
            int small = big - length;
            return (long) (big - 1 + small) * length / 2;
        } else {
            int ones = length - (big - 1);
            return (long) big * (big - 1) / 2 + ones;
        }
    }
};

执行用时：4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了53.04%的用户
内存消耗：5.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了71.82%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(lg(maxSum))。二分搜索上下界的差为 maxSum。
空间复杂度：O(1)，仅需要常数空间。
author：LeetCode-Solution