【1802. 有界数组中指定下标处的最大值】

来源:力扣(LeetCode)

描述:

给你三个正整数 nindexmaxSum 。你需要构造一个同时满足下述所有条件的数组 nums(下标 从 0 开始 计数):

  • nums.length == n
  • nums[i] 是 正整数 ,其中 0 <= i < n
  • abs(nums[i] - nums[i+1]) <= 1 ,其中 0 <= i < n-1
  • nums 中所有元素之和不超过 maxSum
  • nums[index] 的值被 最大化

返回你所构造的数组中的 nums[index]

注意:abs(x) 等于 x 的前提是 x >= 0 ;否则,abs(x) 等于 -x

示例 1:

输入:n = 4, index = 2,  maxSum = 6
输出:2
解释:数组 [1,1,2,1][1,2,2,1] 满足所有条件。不存在其他在指定下标处具有更大值的有效数组。

示例 2:

输入:n = 6, index = 1,  maxSum = 10
输出:3

提示:

  • 1 <= n <= maxSum <= 109
  • 0 <= index < n

方法:贪心 + 二分查找

思路

  根据题意,需要构造一个长度为 n 的数组 nums,所有元素均为正整数,元素之和不超过 maxSum,相邻元素之差不超过 1,且需要最大化 nums[index]。根据贪心的思想,可以使 nums[index] 成为数组最大的元素,并使其他元素尽可能小,即从 nums[index] 开始,往左和往右,下标每相差 1,元素值就减少 1,直到到达数组边界,或者减少到仅为 1 后保持为 1 不变。

  根据这个思路,一旦 nums[index] 确定后,这个数组的和 numsSum 也就确定了。并且 nums[index] 越大,数组和 numsSum 也越大。据此,可以使用二分搜索来找出最大的使得 numsSum ≤ maxSum 成立的 nums[index]。

  代码实现上,二分搜索的左边界为 1,右边界为 maxSum。函数 valid 用来判断当前的 nums[index] 对应的 numsSum 是否满足条件。numsSum 由三部分组成,nums[index],nums[index] 左边的部分之和,和 nums[index] 右边的部分之和。cal 用来计算单边的元素和,需要考虑边界元素是否早已下降到 1 的情况。

代码:

class Solution {
public:
    int maxValue(int n, int index, int maxSum) {
        int left = 1, right = maxSum;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right + 1) / 2;
            if (valid(mid, n, index, maxSum)) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }

    bool valid(int mid, int n, int index, int maxSum) {
        int left = index;
        int right = n - index - 1;
        return mid + cal(mid, left) + cal(mid, right) <= maxSum;
    }

    long cal(int big, int length) {
        if (length + 1 < big) {
            int small = big - length;
            return (long) (big - 1 + small) * length / 2;
        } else {
            int ones = length - (big - 1);
            return (long) big * (big - 1) / 2 + ones;
        }
    }
};

执行用时:4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了53.04%的用户
内存消耗:5.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了71.82%的用户
复杂度分析
时间复杂度:O(lg(maxSum))。二分搜索上下界的差为 maxSum。
空间复杂度:O(1),仅需要常数空间。
author:LeetCode-Solution

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