电路复习——正弦稳态交流电路分析

正弦稳态交流电路分析

作者:Elwin
[!] 以下笔记内容可能会出现部分错误的地方,恳请各位师生批评指正,谢谢!


主要内容

  • 正弦量
  • 正弦量的相量表示
  • 基本元件伏安关系的相量模型
  • 基尔霍夫定律的相量模型
  • 正弦稳态电路的阻抗与导纳
  • 相量分析法
  • 正弦稳态电路的功率
  • 电路的谐振
  • 频率特性与网络函数

正弦量

电路中的电压、电流不是恒定不变,而是随着时间的改变方向发生了变化,这类电压和电流统称为交流电(Alternating Current, AC),相应的电路称为交流电路。

1 基本概念

  • 如果电路中的电压和电流随时间按照正弦规律变化,则称为正弦电压或正弦电流,统称为正弦量。
  • 正弦量可以用正弦函数 sin ⁡ \sin sin或者余弦函数 cos ⁡ \cos cos来表示,在本博客中统一使用 c o s cos cos
  • 正弦电压或正弦电流可以表示为 u ( t ) = U m cos ⁡ ( ω t + ϕ ) u(t)=U_m\cos(\omega t+\phi) u(t)=Umcos(ωt+ϕ) i ( t ) = I m cos ⁡ ( ω t + ϕ ) i(t)=I_m\cos({\omega}t+\phi) i(t)=Imcos(ωt+ϕ)

2 正弦量的三要素

如同物理中简谐振动一样,电工学中的正弦量也由振幅 A A A、角频率 ω \omega ω以及初相 ϕ \phi ϕ来唯一确定。

2.1 瞬时值、振幅与有效值
2.1.1 瞬时值与振幅
  • 正弦量是时间的函数,其在任意时刻的函数值称为正弦量的瞬时值,瞬时值的最大值就是该正弦量的振幅
  • 正弦量的振幅由大写字母加下标m来表示,如 U m U_m Um, I m I_m Im
2.1.2 有效值
  • 正弦量的振幅表示了该正弦量变化的范围,而无法表示正弦量做功能力的实际大小,为了解决这个问题,我们引入了有效值来表示正弦量做功能力或消耗电能的多少。
  • 设定一个周期性电流 i i i和一个直流电流 I I I分别流过相同的线性电阻 R R R,并且在相同的时间内具有相同的做功能力,则这个直流电流 I I I的数值就称为周期电流 i i i的有效值,用大写字母I来表示。
2.1.3 有效值的推导
  • 根据有效值的定义,假设有一个周期为 T T T的电流 i i i与直流电流 I I I,它们经过相同的线性电阻 R R R,假设它们在线性电阻上做功的时间为 T T T时,有 W = ∫ 0 T R i 2 d t = R I 2 T W=\int^{T}_0Ri^2dt=RI^2T W=0TRi2dt=RI2T I = 1 T ∫ 0 T i 2 d t I=\sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0i^2dt} I=T10Ti2dt 即有效值为周期值的方均根值。
  • 对于电压也有相同的结果,即 U = 1 T ∫ 0 T u 2 d t U=\sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0u^2dt} U=T10Tu2dt
  • 若周期电流或周期电压为正弦量,则有 I = 1 2 I m ,   U = 1 2 U m I=\frac{1}{\sqrt{2}}I_m , \ U=\frac{1}{\sqrt{2}}U_m I=2 1Im, U=2 1Um
  • 要注意的是,为了防止混淆,有效值一定要使用大写字母来表述!
  • 引入了有效值之后,正弦量也可以转换为如下的表示方式 u ( t ) = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ ) u(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t +\phi) u(t)=2 Ucos(ωt+ϕ) i ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ ) i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi) i(t)=2 Icos(ωt+ϕ)
2.2 角频率、周期与频率
  • 角频率 ω \omega ω反映了正弦量变化的快慢,它表示正弦量每秒变化的弧度数,单位为弧度每秒(rad/s)。
  • 正弦量变化一周所需要的时间称为周期,用 T T T来表示,有 T = 2 π ω T=\frac{2\pi}{\omega} T=ω2π即角频率为在 2 π 2\pi 2π秒内完成的周期数。
  • 与此相似,在单位时间内正弦量完成的周期数称为频率,有 f = 1 T f=\frac{1}{T} f=T1。在工业中常常使用 f = 50 H z f=50Hz f=50Hz频率的交流电,因此也称此为工频。
  • 角频率、周期、频率从不同的角度反映了正弦量变化的快慢程度,只需要知道它们三者其中一个,就能得到其他两个。
2.3 相位角、初相与相位差
2.3.1 介绍
  • 正弦量随时间变化的角度 ω t + ϕ \omega t+\phi ωt+ϕ称为正弦量的相位角,简称相位或相角。
  • 当时间 t = 0 t=0 t=0的时候的相位角 ϕ \phi ϕ称为初相位或初相角,简称为初相。初相反映了正弦量初始值的大小,同一正弦量计时起点不同,则它的初相角也不一样。一般而言,初相角 ∣ ϕ ∣ ≤ 180 ° |\phi|≤180° ϕ180°
  • 两个频率相同的正弦量的相位的差叫做相位差,描述的是同频率正弦量之间的相位关系,反映了同频率的正弦量同向过零点或到达同相最值的先后顺序。
  • 对于正弦电压或正弦电流,为了区分它们的初相,可以表示为 u ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) u(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_u) u(t)=2 Icos(ωt+ϕu) i ( t ) = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\phi_i) i(t)=2 Ucos(ωt+ϕi)则它们的相位差为 ϕ = ( ω t + ϕ u ) − ( ω t + ϕ i ) = ϕ u − ϕ i \phi=(\omega t +\phi_u)-(\omega t+\phi_i)=\phi_u-\phi_i ϕ=(ωt+ϕu)(ωt+ϕi)=ϕuϕi可以看出两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相角之差,与角频率和时间都无关。这一公式对任意两个同频率正弦量都适用。
2.3.2 特殊相位关系
  • 假设有两个频率相同的正弦量1,2的初相分别为 ϕ 1 \phi_1 ϕ1, ϕ 2 \phi_2 ϕ2,则它们有相位差 ϕ 12 = ϕ 1 − ϕ 2 \phi_{12}=\phi_1-\phi_2 ϕ12=ϕ1ϕ2。若 ϕ 12 > 0 \phi_{12}>0 ϕ12>0,即 ϕ 1 > ϕ 2 \phi_1>\phi_2 ϕ1>ϕ2,则称正弦量1超前于正弦量2;反之,则称正弦量1落后于正弦量2。
  • ϕ 12 = 0 \phi_{12}=0 ϕ12=0,即 ϕ 1 = ϕ 2 \phi_1=\phi_2 ϕ1=ϕ2,则称 ϕ 1 \phi_1 ϕ1 ϕ 2 \phi_2 ϕ2对应的相位相同,简称同相,它们将会同时达到最值。
  • ϕ 12 = ± π \phi_{12}=±\pi ϕ12=±π,即 ϕ 1 \phi_1 ϕ1 ϕ 2 \phi_2 ϕ2相位差为 ± 180 ° ±180° ±180°,则称 ϕ 1 \phi_1 ϕ1 ϕ 2 \phi_2 ϕ2对应的两个正弦量相位相反,简称反相。
  • ϕ 12 = ± π 2 \phi_{12}=±\frac{\pi}{2} ϕ12=±2π,则称 ϕ 1 \phi_1 ϕ1 ϕ 2 \phi_2 ϕ2对应的两个正弦量相位正交。
  • 要注意的是,只有同频率的两个正弦量才能比较相位,不同频率的正弦量不能比较相位。

正弦量的相量表示

  • 在线性电路中,当激励源的电压或电流是随时间按正弦或余弦规律周期性变化时,电路中各部分电压和电流的响应也是同频率的正弦量,这样的电路成为正弦稳态电路。
  • 要分析正弦稳态电路,如果直接使用正弦量进行分析将会显地异常麻烦,为了能够更方便地对电路进行分析,我们引入了正弦量的相量表示法。
  • 相量表示法是建立在复数的基础上,是分析和计算正弦稳态电路的有力数学工具。

1 复数与运算规律

1.1 复数
  • 在以横轴为实轴、纵轴为虚轴的复平面上,任意一点唯一确定了一个复数 A A A,该复数可以用点 A A A对应的坐标 ( a , b ) (a,b) (a,b)来表示,即 A = a + j b A=a+jb A=a+jb其中, j j j为虚数单位1 j = − 1 j=\sqrt{-1} j=1 a a a为实部, b b b为虚部,这种表示方法称为代数型表示。
  • 实部 a a a和虚部 b b b可以是任意实数,它们分别是复数 A A A在实轴、虚轴上的投影。
  • 有时候我们只取复数的实部或者虚部,可以分别表示为 R e [ A ] = R e [ a + j b ] = a Re[A]=Re[a+jb]=a Re[A]=Re[a+jb]=a I m [ A ] = I m [ a + j b ] = b Im[A]=Im[a+jb]=b Im[A]=Im[a+jb]=b
1.2 其他表示方法
  • 复平面上的复数 A A A也唯一确定了以原点 O O O为起点,复数点 A A A为终点的有向线段 O A OA OA(即复矢量),因此也可以用复平面上的有向线段 O A OA OA来表示复数 A A A。复矢量的长度 ∣ A ∣ |A| A称为复数 A A A的模;复矢量与实轴的正半轴的夹角 θ \theta θ称为复数 A A A的幅角。
1.2.1 三角函数表示法
  • 由几何关系可得
    { a = ∣ A ∣ cos ⁡ θ b = ∣ B ∣ sin ⁡ θ \begin{cases} a=|A|\cos\theta\\ b=|B|\sin\theta \end{cases} {a=Acosθb=Bsinθ
    { ∣ A ∣ = a 2 + b 2 θ = arctan ⁡ b a \begin{cases} |A|=\sqrt{a^2+b^2}\\ \theta=\arctan\frac{b}{a} \end{cases} {A=a2+b2 θ=arctanab
  • 将上式代入到复数 A A A表达式中,有 A = a + j b = ∣ A ∣ cos ⁡ θ + j ∣ A ∣ sin ⁡ θ = ∣ A ∣ ( cos ⁡ θ + j sin ⁡ θ ) A=a+jb=|A|\cos\theta+j|A|\sin\theta=|A|(\cos\theta+j\sin\theta) A=a+jb=Acosθ+jAsinθ=A(cosθ+jsinθ)这就是复数的三角函数表示法。
1.2.2 指数函数表示法
  • 若使用欧拉公式 e j θ = cos ⁡ θ + j sin ⁡ θ e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta ejθ=cosθ+jsinθ
  • 将其代入到三角函数表示法中,即可得到 A = ∣ A ∣ e j θ A=|A|e^{j\theta} A=Aejθ这就是复数的指数函数表示法(指数型)
1.2.3 极坐标表示法
  • 在电路理论中,复数的指数形式常简写为极坐标表达式(极坐标型),即 A = ∣ A ∣ ∠ θ A=|A|\angle\theta A=Aθ
1.3 复数的加减运算
  • 复数的加减一般只能用代数型来进行,将两个代数型复数的实部、虚部分别相加(或相减),作为和(或差)的实部、虚部。即 A 1 ± A 2 = ( a 1 + j b 1 ) ± ( a 2 + j b 2 ) A_1±A_2=(a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2) A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2) = ( a 1 ± a 2 ) + j ( b 1 ± b 2 ) =(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2) =(a1±a2)+j(b1±b2)
  • 如果是其他表示类型的复数形式,则需要先转换为代数型,然后再进行运算。
1.4 复数的乘除运算
  • 复数的乘除一般优先采用极坐标型。
  • 两个复数相乘时,其模相乘,幅角相加 A 1 ⋅ A 2 = ∣ A 1 ∣ e j θ 1 ∣ A 2 ∣ e j θ 2 = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ e j ( θ 1 + θ 2 ) = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ∠ ( θ 1 + θ 2 ) A_1·A_2=|A_1|e^{j\theta_1}|A_2|e^{j\theta_2}=|A_1||A_2|e^{j(\theta_1+\theta_2)}=|A_1||A_2|\angle(\theta_1+\theta_2) A1A2=A1ejθ1A2ejθ2=A1A2ej(θ1+θ2)=A1A2(θ1+θ2)
  • 两个复数相除时,其模相除,幅角相减 A 1 A 2 = ∣ A 1 ∣ e j θ 1 ∣ A 2 ∣ e j θ 2 = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ e j ( θ 1 − θ 2 ) = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ∠ ( θ 1 − θ 2 ) \frac{A_1}{A_2}=\frac{|A_1|e^{j\theta_1}}{|A_2|e^{j\theta_2}}=\frac{|A_1|}{|A_2|}e^{j(\theta_1-\theta_2)}=\frac{|A_1|}{|A_2|}\angle(\theta_1-\theta_2) A2A1=A2ejθ2A1ejθ1=A2A1ej(θ1θ2)=A2A1(θ1θ2)
1.5 复矢量旋转
  • 复数的乘除运算也可以表示为对应的复数模的放大或缩小,幅角的逆时针旋转或顺时针旋转。
  • 对于 e j θ e^{j\theta} ejθ而言,它的复数模长为 1 1 1,幅角为 θ \theta θ,则对于任意一个复数乘(除) e j θ e^{j\theta} ejθ,都能表示为该复数的复矢量在复平面上逆时针(顺时针)旋转了 θ \theta θ
  • θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2} θ=2π时,由欧拉公式可得 e j π 2 = cos ⁡ ( π 2 ) + j sin ⁡ ( π 2 ) = j e^{j\frac{\pi}{2}}=\cos(\frac{\pi}{2})+j\sin(\frac{\pi}{2})=j ej2π=cos(2π)+jsin(2π)=j即一个复数乘上 j j j相当于该复数对应的复矢量在复平面上逆时针旋转 π 2 \frac{\pi}{2} 2π
  • 同理,一个复数乘上 − j -j j时相当于该复数对应的复矢量在复平面上顺时针旋转 π 2 \frac{\pi}{2} 2π;乘上 − 1 -1 1时相当于在复平面上旋转了 π \pi π

2 相量表示法

2.1 介绍
  • 正弦量和复数之间能够建立一一对应关系2,因此我们可以用复数来表示正弦量。
  • 为了和一般的复数加以区别,我们把这种表示正弦量的复数称为相量,用带点的大写字母(如 U ˙ \dot{U} U˙)来表示,这种表示方法称为相量表示法。
2.2 表示
  • 对于正弦量 i ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ ) i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi) i(t)=2 Icos(ωt+ϕ)有欧拉公式 e j ( ω t + ϕ ) = cos ⁡ ( ω t + ϕ ) + j sin ⁡ ( ω t + ϕ ) e^{j(\omega t+\phi)}=\cos(\omega t+\phi)+j\sin(\omega t+\phi) ej(ωt+ϕ)=cos(ωt+ϕ)+jsin(ωt+ϕ)因此可以写为 i ( t ) = 2 I R e [ e j ( ω t + ϕ ) ] = R e [ 2 I e j ( ω t + ϕ ) ] i(t)=\sqrt{2}IRe[e^{j(\omega t+\phi)}]=Re[\sqrt{2}Ie^{j(\omega t+\phi)}] i(t)=2 IRe[ej(ωt+ϕ)]=Re[2 Iej(ωt+ϕ)] = R e [ 2 I e j ω t e j ϕ ] = R e [ 2 I ˙ e j ω t ] = R e [ 2 I ˙ ∠ ω t ] =Re[\sqrt{2}Ie^{j\omega t}e^{j\phi}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}\angle \omega t] =Re[2 Iejωtejϕ]=Re[2 I˙ejωt]=Re[2 I˙ωt]其中 I ˙ \dot{I} I˙称为电流有效值相量,它的模是该正弦电流的有效值,幅角是该正弦电流的初相。因此有 I ˙ = I ∠ ϕ i \dot{I}=I\angle\phi_i I˙=Iϕi
  • 同理, I m ˙ \dot{I_m} Im˙为电流振幅相量,它的模是该正弦电流的振幅,它的幅角是该正弦电流的初相,有关系 I m ˙ = 2 I ˙ \dot{I_m}=\sqrt{2}\dot{I} Im˙=2 I˙
  • 同理,对正弦电压的幅值相量和有效值相量可写为 U m ˙ = U m ∠ ϕ u \dot{U_m}=U_m\angle\phi_u Um˙=Umϕu U ˙ = U ∠ ϕ u \dot{U}=U\angle\phi_u U˙=Uϕu
2.3 相量图
  • 在复平面上表示同频率的不同正弦量的复数的图就称为相量图。
  • 我们可以用相量图来得到不同正弦量的幅角关系与振幅关系,这为我们的后续分析提供了一个很好的方法。
  • 再次提醒的是,由于正弦量以相量的方式来表示,因此正弦量之间的运算不再是简单的代数运算。

基本元件伏安关系的相量模型

在正弦交流稳态电路中,电压、电流随时间变化,无源元件除电阻以外,还有电感和电容。

1 电阻元件伏安特性相量模型

  • 电阻的伏安特性为 u = R i u=Ri u=Ri
  • 假设电阻两端的电流为 i ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_i) i(t)=2 Icos(ωt+ϕi),则有 u ( t ) = 2 I R cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) u(t)=\sqrt{2}IR\cos(\omega t+\phi_i) u(t)=2 IRcos(ωt+ϕi) = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) =\sqrt{2}U\cos(\omega t+\phi_u) =2 Ucos(ωt+ϕu)
  • 能够看出电阻两端的电压和通过电阻的电流频率相同,相位也相同,即 ϕ i = ϕ u \phi_i=\phi_u ϕi=ϕu如果用相量来表示电阻的伏安特性,即有 U ˙ I ˙ = U ∠ ϕ u I ∠ ϕ i = U I ∠ ( ϕ u − ϕ i ) = R \frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\angle\phi_u}{I\angle\phi_i}=\frac{U}{I}\angle(\phi_u-\phi_i)=R I˙U˙=IϕiUϕu=IU(ϕuϕi)=R或者写为 U ˙ = R I ˙ \dot{U}=R\dot{I} U˙=RI˙这就是欧姆定律的相量模型,在正弦交流稳态电路中,该向量模型既反映了电阻的电压和电流有效值(或幅值)之间的关系,同时也反映了电阻电压和电流间的相位关系。

2 电感元件伏安特性相量模型

  • 电感的伏安特性为 u = L d i d t u=L\frac{di}{dt} u=Ldtdi
  • 假设电感两端的电流为 i ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_i) i(t)=2 Icos(ωt+ϕi),则有 u ( t ) = − 2 ω L I sin ⁡ ( ω t + ϕ i ) = 2 ω L I cos ⁡ ( ω t + ϕ i + 90 ° ) u(t)=-\sqrt{2}\omega LI\sin(\omega t+\phi_i)=\sqrt{2}\omega LI\cos(\omega t+\phi_i+90°) u(t)=2 ωLIsin(ωt+ϕi)=2 ωLIcos(ωt+ϕi+90°)
  • u ( t ) = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) u(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\phi_u) u(t)=2 Ucos(ωt+ϕu)相比,能够得到 { U / I = ω L ϕ u = ϕ i + 90 ° \begin{cases} U/I=\omega L\\ \phi_u=\phi_i +90° \end{cases} {U/I=ωLϕu=ϕi+90°从中可得,电感元件中电流、电压的有效值不仅和电感量 L L L有关,而且还与角频率 ω \omega ω有关,电流电压的有效值(或幅值)之比为 ω L \omega L ωL,它的单位也为欧姆( Ω Ω Ω),通常称为电感的感抗,即 X L = ω L = 2 π f L = U I = U m I m X_L=\omega L=2\pi fL=\frac{U}{I}=\frac{U_m}{I_m} XL=ωL=2πfL=IU=ImUm电感量 L L L一定时,感抗 X L X_L XL与频率 ω \omega ω成正比。
  • 此外,电感两端的电压要比通过电感的电流的相位超前90°,因此在电感的相量表示中,需要加入旋转因子 j j j,即 U ˙ = j X L I ˙ = j ω L I ˙ \dot{U}=jX_L\dot{I}=j\omega L\dot{I} U˙=jXLI˙=jωLI˙

3 电容元件伏安特性相量模型

  • 电容的伏安特性为 i = C d u d t i=C\frac{du}{dt} i=Cdtdu
  • 假设电容两端的电压为 u ( t ) = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) u(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\phi_u) u(t)=2 Ucos(ωt+ϕu),代入有 i ( t ) = 2 ω C U cos ⁡ ( ω t + ϕ u + 90 ° ) i(t)=\sqrt{2}\omega CU\cos(\omega t+\phi_u+90°) i(t)=2 ωCUcos(ωt+ϕu+90°)
  • i ( t ) = 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_i) i(t)=2 Icos(ωt+ϕi)对比,有
    { I = ω C U ϕ i = ϕ u + 90 ° \begin{cases} I=\omega CU\\ \phi_i=\phi_u+90° \end{cases} {I=ωCUϕi=ϕu+90°从中可得,电容元件中电流、电压的有效值不仅和电容量 C C C有关,而且还与角频率 ω \omega ω有关,电流电压的有效值(或幅值)之比为 1 ω C \frac{1}{\omega C} ωC1,它的单位为欧姆,通常称为电容的容抗,即 X C = 1 ω C = U I = U m I m X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{U}{I}=\frac{U_m}{I_m} XC=ωC1=IU=ImUm电容量 C C C一定时,容抗 X C X_C XC与频率 ω \omega ω成反比。
  • 此外,电容两端的电压要比通过电容的电流的相位落后90°,因此在电容的相量表示中,需要加入旋转因子 − j -j j,即 U ˙ = − j X C I ˙ = 1 j ω C I ˙ \dot{U}=-jX_C \dot{I}=\frac{1}{j\omega C}\dot{I} U˙=jXCI˙=jωC1I˙

基尔霍夫定律的相量模型

1 基尔霍夫电流定律的相量模型

  • 在正弦稳态电路中,若所有支路电流都是同频率的正弦量,则基尔霍夫电流定律(KCL)的时域形式为 ∑ i ( t ) = 0 \sum i(t)=0 i(t)=0
  • 将所有时域形式转为相量模式,即基尔霍夫电流定律(KCL)的相量形式有 ∑ I ˙ = 0 \sum \dot{I}=0 I˙=0 ∑ I m ˙ = 0 \sum \dot{I_m}=0 Im˙=0即在所有支路电流都是同频率的正弦稳态交流电路中,任意一个节点上各支路电流的有效值相量(或幅值相量)的相量和等于零。

2 基尔霍夫电压定律的相量模型

  • 在正弦稳态电路中,若各部分电压都是同频率的正弦量,则基尔霍夫电压定律(KVL)的时域形式为 ∑ u ( t ) = 0 \sum u(t)=0 u(t)=0
  • 若用相量表示,则有 ∑ U ˙ = 0 \sum \dot{U}=0 U˙=0 ∑ U m ˙ = 0 \sum \dot{U_m}=0 Um˙=0即在各部分电压都是同频率的正弦稳态交流电路中,沿任意一回路各部分电压的有效值相量(或幅值相量)的相量和等于零。

正弦稳态电路的阻抗与导纳

在正弦交流稳态电路中,无源元件包括电感和电容,为了能让电阻电路分析方法应用到正弦交流稳态电路,我们需要引入正弦稳态电路的阻抗、导纳的相量模型来拓展电阻电路分析方法。

1 复阻抗

1.1 定义
  • 在正弦交流电路中,一端口网络 N N N的端口电压相量 U ˙ \dot{U} U˙与端口电流相量 I ˙ \dot{I} I˙的比值定义为一端口网络的复阻抗 Z Z Z,简称阻抗,即 Z = U ˙ I ˙ = U I ∠ ( ϕ u − ϕ i ) = ∣ Z ∣ ∠ ϕ Z Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U}{I}\angle(\phi_u-\phi_i)=|Z|\angle\phi_Z Z=I˙U˙=IU(ϕuϕi)=ZϕZ其中 ϕ Z = ϕ u − ϕ i \phi_Z=\phi_u-\phi_i ϕZ=ϕuϕi为阻抗角,它表示了端口电压和电流间的相位关系。
  • 复阻抗 Z Z Z反映了一端口网络 N N N的端口电压和电流的有效值大小以及相位关系。
1.2 阻抗角与电路性质
  • ϕ Z > 0 \phi_Z>0 ϕZ>0 ϕ u > ϕ i \phi_u>\phi_i ϕu>ϕi时,端口电压超前于电流,该一端口网络为电感性电路,简称为感性电路。
  • ϕ Z < 0 \phi_Z<0 ϕZ<0 ϕ u < ϕ i \phi_u<\phi_i ϕu<ϕi时,端口电压滞后于电流,该一端口网络为电容性电路,简称为容性电路。
  • ϕ Z = 0 \phi_Z=0 ϕZ=0 ϕ u = ϕ i \phi_u=\phi_i ϕu=ϕi时,端口电压和电流同相,该一端口网络为电阻性网络,简称为阻性电路。
1.3 复阻抗模型
  • 若一端口网络中只有电阻元件,则可以建立电阻元件 Z Z Z的复阻抗模型,即 Z R = U ˙ I ˙ = R Z_R=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=R ZR=I˙U˙=R即电阻元件的复阻抗即为它本身。
  • 同理,对于电感与电容元件的复阻抗模型为
    { Z L = U ˙ I ˙ = j ω L = j X L = ∣ X L ∣ ∠ 90 ° Z C = U ˙ I ˙ = 1 j ω C = − J X C = ∣ X C ∣ ∠ ( − 90 ° ) \begin{cases} Z_L=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=j\omega L=jX_L=|X_L|\angle90°\\ Z_C=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{1}{j\omega C}=-JX_C=|X_C|\angle(-90°) \end{cases} {ZL=I˙U˙=jωL=jXL=XL90°ZC=I˙U˙=jωC1=JXC=XC(90°)即电感和电容的阻抗模分别为它们的感抗与容抗。
  • 若对于有一个电阻、电容和电感(或等效后只有一个)的串联的RLC串联电路,列基尔霍夫电压方程得 U ˙ = U R ˙ + U C ˙ + U L ˙ = Z R I ˙ + Z C I ˙ + Z L I ˙ = ( Z R + Z C + Z L ) I ˙ = [ R + j ( X L − X C ) ] I ˙ \dot{U}=\dot{U_R}+\dot{U_C}+\dot{U_L}=Z_R\dot{I}+Z_C\dot{I}+Z_L\dot{I}=(Z_R+Z_C+Z_L)\dot{I}=[R+j(X_L-X_C)]\dot{I} U˙=UR˙+UC˙+UL˙=ZRI˙+ZCI˙+ZLI˙=(ZR+ZC+ZL)I˙=[R+j(XLXC)]I˙与复阻抗定义式相比,可得 Z = R + j ( X L − X c ) = R + j X Z=R+j(X_L-X_c)=R+jX Z=R+j(XLXc)=R+jX即复阻抗的实部为电阻 R R R,而复阻抗的虚部为感抗和容抗的复阻抗之和,称为电抗,用 X X X表示。
  • 可以简化为,一个一端口网络中的复阻抗模型即为内部所有无源元件的复阻抗模型之和。在某种意义上来看,可以将复阻抗认为是一种广义的电阻元件模型。
1.4 复阻抗的串联与并联
  • 从上文可得可以认为复阻抗是一种广义的电阻元件模型后,复阻抗的串联和并联与电阻元件的串联和并联相似。
  • 在串联中有 Z e q = ∑ k = 1 n Z k Z_{eq}=\sum^n_{k=1} Z_k Zeq=k=1nZk
  • 在并联中有 1 Z e q = ∑ k = 1 n 1 Z k \frac{1}{Z_{eq}}=\sum^n_{k=1}\frac{1}{Z_k} Zeq1=k=1nZk1

2 复导纳

2.1 定义
  • 如果将复阻抗视为是一种广义的电阻,则复导纳则是一种广义上的电导,它们之间互为倒数。
  • 一端口网络 N N N的端口电流相量 I ˙ \dot{I} I˙与端口电压相量 U ˙ \dot{U} U˙的比值定义为一端口的复导纳 Y Y Y,简称导纳,有 Y = 1 Z = I ˙ U ˙ = I U ∠ ( ϕ i − ϕ u ) = ∣ Y ∣ ∠ ϕ Y = G + j B Y=\frac{1}{Z}=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{I}{U}\angle(\phi_i-\phi_u)=|Y|\angle\phi_Y=G+jB Y=Z1=U˙I˙=UI(ϕiϕu)=YϕY=G+jB其中 ϕ Y \phi_Y ϕY称为导纳角, G G G的电阻元件的电导, B B B称为电纳。
2.2 应用
  • 在元件串联的时候,将它们等效为复阻抗会比较方便;而在元件并联的时候,将它们等效为复导纳会比较方便。

3 复阻抗和复导纳的等效变换

  • 阻抗和导纳互为倒数,即 Z = 1 Y 或 Y = 1 Z Z=\frac{1}{Y} 或Y=\frac{1}{Z} Z=Y1Y=Z1
    -若已知阻抗 Z = R + j X Z=R+jX Z=R+jX,则其等效导纳为 Y = 1 Z = 1 R + j X = R R 2 + X 2 − j X R 2 + X 2 = G + j B Y=\frac{1}{Z}=\frac{1}{R+jX}=\frac{R}{R^2+X^2}-j\frac{X}{R^2+X^2}=G+jB Y=Z1=R+jX1=R2+X2RjR2+X2X=G+jB

相量分析法

有了复阻抗与复导纳模型,我们就可以将正弦交流电路转化为相量模型来进行电路分析。

  • 在一个电路中,如果所有激励源是同一频率的正弦量,则电路中所有响应,包括各个支路电流,任意两点间电压都是与激励源有相同频率的正弦量。
  • 因此我们可以将它们统一地化为相量来表示,将电源化为相量模型 U ˙ \dot{U} U˙ I ˙ \dot{I} I˙,将无源元件化为复阻抗 Z Z Z或复导纳 Y Y Y。则能够得到整个电路的相量模型,该电路的向量模型遵守基尔霍夫定律(KVL、KCL)与各种元件的伏安特性(VCR)对应的相量关系式。
  • 因此,我们可以使用之前提到过的直流电阻电路中所有的分析方法来对电路进行分析,这种基于电路向量模型对正弦稳态电路进行分析计算的方法称为相量分析法。

正弦稳态电路的功率

1 瞬时功率

1.1 介绍
  • 在任意瞬间,电压瞬间值 u ( t ) u(t) u(t)和电流瞬间值 i ( t ) i(t) i(t)的乘积,称为瞬时功率,即 p = u ( t ) i ( t ) p=u(t)i(t) p=u(t)i(t)
  • 代入正弦量计算,有 p = 2 U cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) 2 I cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) p=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\phi_u)\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_i) p=2 Ucos(ωt+ϕu)2 Icos(ωt+ϕi) = 2 U I cos ⁡ ( ω t + ϕ u ) cos ⁡ ( ω t + ϕ i ) =2UI\cos(\omega t+\phi_u)\cos(\omega t+\phi_i) =2UIcos(ωt+ϕu)cos(ωt+ϕi) = U I cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) + U I cos ⁡ ( 2 ω t + ϕ u + ϕ i ) (7-1-1) =UI\cos(\phi_u-\phi_i)+UI\cos(2\omega t+\phi_u+\phi_i)\tag{7-1-1} =UIcos(ϕuϕi)+UIcos(2ωt+ϕu+ϕi)(7-1-1)由公式可知,瞬时功率的第一项是与时间无关的恒定分量;而第二项是随时间以而被角频率变化的正弦量。
1.2 电阻元件的瞬时功率
  • 对于电阻元件,代入到(7-1-1)有 p R = u R ( t ) i R ( t ) = U R I R + U R I R cos ⁡ 2 ( ω t + ϕ i ) = U R I R [ 1 + cos ⁡ 2 ( ω t + ϕ i ) ] p_R=u_R(t)i_R(t)=U_RI_R+U_RI_R\cos2(\omega t+\phi_i)=U_RI_R[1+\cos2(\omega t+\phi_i)] pR=uR(t)iR(t)=URIR+URIRcos2(ωt+ϕi)=URIR[1+cos2(ωt+ϕi)]
  • 由上式可得电阻元件的瞬时功率恒大于零,说明在交流电路中电阻元件总是在消耗能量,而且功率是随时间变化而变化的。
1.3 电感元件的瞬时功率
  • 对于电感元件,有 p L = u L ( t ) i L ( t ) = U L I L cos ⁡ [ 2 ( ω t + ϕ i ) + 90 ° ] (7-1-2) p_L=u_L(t)i_L(t)=U_LI_L\cos[2(\omega t+\phi_i)+90°]\tag{7-1-2} pL=uL(t)iL(t)=ULILcos[2(ωt+ϕi)+90°](7-1-2)
  • 由上式可得电感元件的瞬时功率以二倍角频率按照正弦规律变化,且一个周期内的平均值为零,这反映了电感元件是一个储能元件,它将电能与磁场能相互转换,并与外电路不断地进行能量交换且不消耗能量。
1.4 电容元件的瞬时功率
  • 对于电容元件,有 p C = u C ( t ) i C ( t ) = U C I C cos ⁡ [ 2 ( ω t + ϕ u ) + 90 ° ] (7-1-3) p_C=u_C(t)i_C(t)=U_CI_C\cos[2(\omega t+\phi_u)+90°]\tag{7-1-3} pC=uC(t)iC(t)=UCICcos[2(ωt+ϕu)+90°](7-1-3)
  • 由上式可得电容元件的瞬时功率以二倍角频率按照正弦规率变化,且一个周期内平均值为零,这反映了电感元件是一个储能元件,它将电能与磁场能相互转换,并与外电路不断地进行能量交换且无损耗。
1.5 电感与电容的瞬时功率比较
  • 如果进一步地化简(7-1-2),有 p L = − U L I L sin ⁡ 2 ( ω t + ϕ i ) p_L=-U_LI_L\sin2(\omega t+\phi_i) pL=ULILsin2(ωt+ϕi)
  • 同理,对(7-1-3)有 p C = U C I C sin ⁡ 2 ( ω t + ϕ i ) p_C=U_CI_C\sin2(\omega t+\phi_i) pC=UCICsin2(ωt+ϕi)
  • 对比两者,发现当电容释放能量的时候,电感在吸收能量;当电感在释放能量的时候,电容在吸收能量。

2 有功功率与无功功率

瞬时功率并不能反映交流电路中的功率情况,为此我们需要引入有功功率与无功功率。

2.1 有功功率
  • 瞬时功率在一个周期的平均值为平均功率,平均功率也称为有功功率,通常用大写字母P表示,即 P = 1 T ∫ 0 T p ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T [ U I cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) + U I cos ⁡ ( 2 ω t + ϕ u + ϕ i ) ] d t P=\frac{1}{T}\int^T_0p(t)dt=\frac{1}{T}\int^T_0[UI\cos(\phi_u-\phi_i)+UI\cos(2\omega t+\phi_u+\phi_i)]dt P=T10Tp(t)dt=T10T[UIcos(ϕuϕi)+UIcos(2ωt+ϕu+ϕi)]dt = U I cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) =UI\cos(\phi_u-\phi_i) =UIcos(ϕuϕi)
  • 有功功率 P P P就是电路实际消耗的功率,即为瞬时功率中的恒定分量,它不仅与电压和电流的有效值有关,而且与它们的相位差有关。
  • 电压和电流的相位差 ϕ u − p h i i \phi_u-phi_i ϕuphii称为功率因素角,而它们的余弦 cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) \cos(\phi_u-\phi_i) cos(ϕuϕi)称为功率因素,通常用 λ \lambda λ表示。
  • 一般情况下 ∣ ϕ u − ϕ i ∣ ≤ 90 ° |\phi_u-\phi_i|≤90° ϕuϕi90°,即功率因素角 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ[0,1]
  • 将电阻、电容与电感的瞬时功率进行对比,能够看出三者的有功功率 P R = U R I R = I R 2 R = U R 2 R P_R=U_RI_R=I_R^2R=\frac{U^2_R}{R} PR=URIR=IR2R=RUR2 P L = U L I L cos ⁡ 90 ° = 0 P_L=U_LI_L\cos90°=0 PL=ULILcos90°=0 P C = U L I L cos ⁡ ( − 90 ° ) = 0 P_C=U_LI_L\cos(-90°)=0 PC=ULILcos(90°)=0即电阻总是消耗功率,是耗能元件;电感和电容不会消耗有功功率,只是存在与外部电路间的能量交换,是换能元件。
  • 拓展到一端口网络,有一端口网络消耗的总的有功功率等于端口内部各个电阻元件消耗的有功功率的叠加,即有功功率守恒 P = U I cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) = ∑ k = 1 n P k = ∑ k = 1 n U R k I R k P=UI\cos(\phi_u-\phi_i)=\sum^n_{k=1}P_k=\sum^n_{k=1}U_{R_k}I_{R_k} P=UIcos(ϕuϕi)=k=1nPk=k=1nURkIRk
2.2 无功功率
  • 为了描述一端口网络与外部电路能量交换的情况,我们引入了无功功率的概念,无功功率通常用大写字母 Q Q Q表示,为 Q = U I sin ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) Q=UI\sin(\phi_u-\phi_i) Q=UIsin(ϕuϕi)无功功率表示的只是进行能量的转换,无能量消耗的功率,但是在能量的交换过程中也需要占用一定的电源资源。
  • 对于电阻、电感与电容,有 Q R = U I sin ⁡ 0 ° = 0 Q_R=UI\sin0°=0 QR=UIsin0°=0 Q L = U L I L sin ⁡ 90 ° = U L 2 X L = I L 2 X L Q_L=U_LI_L\sin90°=\frac{U_L^2}{X_L}=I^2_LX_L QL=ULILsin90°=XLUL2=IL2XL Q C = U L I L sin ⁡ ( − 90 ° ) = − U C 2 X C = − I C 2 X C Q_C=U_LI_L\sin(-90°)=-\frac{U_C^2}{X_C}=-I^2_CX_C QC=ULILsin(90°)=XCUC2=IC2XC说明了在交流电路中,电容和电感间不断地进行着能量的相互交换和补偿。
  • 一端口网络总的无功功率等于端口内部各个电感和电容元件无功功率之和,无功功率守恒,即 Q = U I sin ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) = ∑ k = 1 n Q k Q=UI\sin(\phi_u-\phi_i)=\sum^n_{k=1}Q_k Q=UIsin(ϕuϕi)=k=1nQk
2.3 一端口网络中的功率
  • 在交流电路中,对于任意一个一端口网络等效的复阻抗 Z = R + j X Z=R+jX Z=R+jX,它内部的功率可以分为有功功率和无功功率两种,其中有功功率对应了复阻抗实部等效电阻消耗的功率,即 P = U I cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) = I 2 R P=UI\cos(\phi_u-\phi_i)=I^2R P=UIcos(ϕuϕi)=I2R而无功功率对应了复阻抗虚部等效电抗的功率,即 Q = U I sin ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) = I 2 X Q=UI\sin(\phi_u-\phi_i)=I^2X Q=UIsin(ϕuϕi)=I2X

3 视在功率与复功率

3.1 视在功率
  • 为了在工程上描述电器设备的容量,我们引入了视在功率的概念,即 S = U I S=UI S=UI
  • 视在功率,有功功率与无功功率之间的关系为 S = P 2 + Q 2 S=\sqrt{P^2+Q^2} S=P2+Q2 P = S cos ⁡ ϕ P=S\cos\phi P=Scosϕ Q = S sin ⁡ ϕ Q=S\sin\phi Q=Ssinϕ ϕ = arctan ⁡ Q P = ϕ u − ϕ i \phi=\arctan\frac{Q}{P}=\phi_u-\phi_i ϕ=arctanPQ=ϕuϕi
3.2 复功率
  • 在正弦交流电路中通常使用的是相量表示,因此有必要引入功率的相量模型,即复功率 S ˉ = P + j Q = U I cos ⁡ ϕ + j U I sin ⁡ ϕ = U I ∠ ( ϕ u − ϕ i ) = U ˙ I ˙ ∗ \bar{S}=P+jQ=UI\cos\phi+jUI\sin\phi=UI\angle(\phi_u-\phi_i)=\dot{U}\dot{I}^* Sˉ=P+jQ=UIcosϕ+jUIsinϕ=UI(ϕuϕi)=U˙I˙
  • 由上式可得,复功率的定义为一端口网络的端口电压相量与电流相量共轭复数的乘积,它的实部为有功功率 P P P,虚部为无功功率 Q Q Q,模为视在功率 S S S,幅角为功率因数角 ϕ \phi ϕ
  • 复功率也守恒,和有功功率、无功功率一样,复功率同样适用于单个元件或任何电路。
  • 可以把复功率理解为对有功功率和无功功率的拓展。

4 功率因数的提高

  • 功率因数为 cos ⁡ ( ϕ u − ϕ i ) \cos(\phi_u-\phi_i) cos(ϕuϕi),取决于电路的参数。
  • 功率因数的大小意味着电路有效做功功率的大小:功率因数越大,代表着电路中无功功率越小,对应的有功功率越大。因此过小的功率因数可能会导致电源设备容量不能充分被利用。
  • 提高功率因数的最好方法,就是要减少电路中的功率因数角,使得电流和电压的相位相差尽可能地小。
  • 对于感性电路,我们可以采取并联电容来达到提高功率因数 λ \lambda λ的目的;在容性电路中则可以采取串联电容来达到这个目的。
  • 当电流和电压相位达到最小(即同相)时,这时候将会有最大的有功功率,我们也称此时为电路发生了谐振。

5 最大功率传输定理

  • 在电路中,假设电源(或戴维南、诺顿定理等效后的电源)内部的阻抗为固定值 Z S = R S + j X S Z_S=R_S+jX_S ZS=RS+jXS则对于负载阻抗 Z = R + j X Z=R+jX Z=R+jX,有 P = I 2 R = U O C 2 R ( R S + R ) 2 + ( X S + X ) 2 P=I^2R=\frac{U^2_{OC}R}{(R_S+R)^2+(X_S+X)^2} P=I2R=(RS+R)2+(XS+X)2UOC2R能够看出,当 R = R S R=R_S R=RS X = − X S X=-X_S X=XS时负载有最大功率,即 Z = Z S ∗ Z=Z_S^* Z=ZS
  • 由此可见,获得最大功率的条件为负载阻抗等于一端口网络等效阻抗的共轭复数,称为共轭匹配。在共轭匹配下,将会有最大功率 P m a x = U O C 2 4 R S P_{max}=\frac{U^2_{OC}}{4R_S} Pmax=4RSUOC2传输效率为50%。
  • 能够看出最理想的状态下,两者的无功功率相互抵消,而有功功率相同。
  • 若负载的功率因数角无法更改,则当 ∣ Z ∣ = ∣ Z S ∣ |Z|=|Z_S| Z=ZS时能够获得最大功率,此时称为模匹配。

电路的谐振

1 介绍

  • 在保持电压源输出电压幅值恒定的条件下,改变电压源的频率,发现在某一频率 f 0 f_0 f0时,能够发现电流相量的幅值最大,电感、电容两元件的电压大体相等,并且比电压源输出电压的有效值大很多倍。这种情况称为谐振。
  • 在一定条件下电路阻抗(或导纳)为纯电阻,即端口电压与电流相位相同,电路在整体上表现为阻性电路,能量互换只在电路中的电感和电容之间进行,与电源之间没有能量互换,则称此一端口网络发生了谐振。

2 串联谐振

2.1 条件
  • 假设有RLC串联电路(即电感、电压、电阻与电源串联),电路的阻抗为 Z = R + j X = R + j ( ω L − 1 ω C ) Z=R+jX=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C}) Z=R+jX=R+j(ωLωC1)电路的阻抗角为 ϕ = arctan ⁡ X R = arctan ⁡ X L − X C R \phi=\arctan\frac{X}{R}=\arctan\frac{X_L-X_C}{R} ϕ=arctanRX=arctanRXLXC
  • 由上文可知当谐振时,满足 X = 0 X=0 X=0,即 ω 0 L = 1 ω 0 C \omega_0L=\frac{1}{\omega_0C} ω0L=ω0C1得到 ω 0 = 1 L C \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} ω0=LC 1 ω 0 \omega_0 ω0称为谐振角频率,这个公式也称为串联谐振的谐振条件。
2.2 特性
  • 电路的谐振频率与电阻和外加电源的大小无关,它反映了串联谐振电路的一种固有性质。只有当外加电源的频率与电路本身的谐振频率相等时,电路才能产生谐振。
  • 在外加电源电压不变的情况下,电路中的电流在谐振时达到最大值,为 I 0 = U S R I_0=\frac{U_S}{R} I0=RUS
  • 电路中只有在谐振频率 f 0 f_0 f0附近一段频率内,电流才有较大的幅值,因此可以通过这一点来对不同频率的信号进行筛选,接近于谐振频率的电流成分将大于其他偏离谐振频率的电流成分,这种性能也成为选择性。
  • 在工程上为了描述这种选择性,引入了通频带宽度的概念,简称通频带。通频带表示的是在电流大于等于谐振电流的 2 \sqrt{2} 2 倍时的频率,即 B W = f H − f L BW=f_H-f_L BW=fHfL其中 f H f_H fH为电流 I = I 0 / 2 I=I_0/\sqrt{2} I=I0/2 时较高的频率,称为上限截止频率;而 f L f_L fL为电流 I = I 0 / 2 I=I_0/\sqrt{2} I=I0/2 时较低的频率,称为下限截止频率。
  • 谐振曲线越尖锐,通频带 B W BW BW越窄,电路的选择性就越好。我们一般来用串联谐振时电感或电容的电压与电源电压的比值来定量表述电路的选择性,有 Q = U L U S = U C U S = 1 R L C Q=\frac{U_L}{U_S}=\frac{U_C}{U_S}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} Q=USUL=USUC=R1CL

3 并联谐振

如果信号源的内阻比较大,串联电路的品质因素Q将会降低,使电路的选择性变差,因此为了获得更好地品质因素,我们一般选用并联谐振电路。

3.1 条件
  • 假设有RLC并联电路(即电感、电压、电阻与电源并联),电路的复导纳为 Y = G + j B = G + j ( ω C − 1 ω L Y=G+jB=G+j(\omega C-\frac{1}{\omega L} Y=G+jB=G+j(ωCωL1使电路谐振,将会有 ω 0 C = 1 ω 0 L \omega_0 C=\frac{1}{\omega_0L} ω0C=ω0L1 ω 0 = 1 L C \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} ω0=LC 1 ω 0 \omega_0 ω0称为谐振角频率。
3.2 特性
  • 并联谐振时,电路的等效导纳为纯电导,电路的导纳角为零。
  • 在外加激励电流源不变的情况下,电路中的端电压在谐振时达到最大值,有 U 0 = ∣ Z 0 ∣ I S = R I S U_0=|Z_0|I_S=RI_S U0=Z0IS=RIS
  • 发生并联谐振时,电感电流和电容电流大小相等,它们相互抵消,即 L C LC LC并联部分电路对外表现为开路,对整个电路不起作用,从而电阻电流等于电流源电流。
  • 并联谐振的品质因素为 Q = 1 G C L Q=\frac{1}{G}\sqrt{\frac{C}{L}} Q=G1LC 由该式可得,并联谐振的品质因素和串联谐振的品质因素互为相反数。

频率特性与网络函数

1 介绍

  • 电路的工作状态随频率而变化的现象称为电路的频率响应特性,简称频率特性。
  • 当采用一个激励源的单输入变量、一个输出变量的单输出方式时,在输入变量和输出变量之间建立函数关系,来描述电路的频率特性,这一函数关系称为网络函数,即 H ( j ω ) = R k ˙ ( j ω ) E s p ˙ ( j ω ) H(j\omega)=\frac{\dot{R_k}(j\omega)}{\dot{E_{sp}}(j\omega)} H(jω)=Esp˙(jω)Rk˙(jω)其中 R k ˙ ( j ω ) \dot{R_k}(j\omega) Rk˙(jω)为输出响应,既可以是电压相量 U k ˙ ( j ω ) \dot{U_k}(j\omega) Uk˙(jω),也可以是电流相量 I k ˙ ( j ω ) \dot{I_k}(j\omega) Ik˙(jω) E s p ˙ ( j ω ) \dot{E_{sp}}(j\omega) Esp˙(jω)为输入响应,可以是电压相量也可以是电流相量。
  • 很显然,网络函数有多种形式,当响应和激励在同一端口时,称为策动点函数;当响应和激励不同一端口时,称为转移函数或传输函数。

2 网络函数的频率特性

  • 含电感、电容元件电路的网络函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)是频率的复函数,有 H ( j ω ) = ∣ H ( j ω ) ∣ ∠ ϕ ( ω ) H(j\omega)=|H(j\omega)|\angle\phi(\omega) H(jω)=H(jω)ϕ(ω)其中 ∣ H ( j ω ) ∣ |H(j\omega)| H(jω)为网络函数的模,它是两个正弦量的有效值(或幅值)的比值, ω \omega ω为角频率, ϕ ( ω ) \phi(\omega) ϕ(ω)为两个同频率正弦量的相位差。
  • 网络函数的模 ∣ H ( j ω ) ∣ |H(j\omega)| H(jω)与角频率 ω \omega ω的关系 ∣ H ( j ω ) − ω ∣ |H(j\omega)-\omega| H(jω)ω称为幅频特性;而两个同频率正弦量的相位差 ϕ ( ω ) \phi(\omega) ϕ(ω)与角频率 ω \omega ω的关系 ϕ ( ω ) − ω \phi(\omega)-\omega ϕ(ω)ω称为相频特性。这两个都是频率的单值函数,因此统称为频率特性。

  1. 在工程中的虚数单位为 j j j,来防止混淆。 ↩︎

  2. 注意,两者并不是相等的! ↩︎

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