AcWing 1273. 天才的记忆—RMQ

题目链接: AcWing 1273. 天才的记忆
问题描述

RMQ是用来求解静态区间最大/小值的算法，静态空间就是数组里的数不会变，动态空间最大/小值可以用线段树或者树状数组来求解。

RMQ算法有点类似与区间DP，RMQ算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，预处理的时间为$O(nlogn)$，查询的时间为$O(1)$，下面讲解一下这个算法步骤，做过区间DP问题应该很容易明白。

用数组f[i][j]来表示以i为开头，长度为$2^j$区间内的最大值，举个例子:

序列A: 1 2 3 4 5 (下标从1开始)
f[1][0]=A[1]=1,								0表示2^0
f[1][1]=max(A[1],A[2])=1,					1表示2^1
f[1][2]=max(A[1],A[2],A[3],A[4])=4,			2表示2^2

那么状态表示就清楚了，状态怎么转移的呢？

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-(1<

这里的思路和区间DP很像
那么如果给定一个区间[l,r]，我们如何根据上面得到的数组f来求这个区间的最大值呢，因为这个区间长度也不一定是$2^k$呀？

这里的区间长度len=r-l+1
我们可以将这个区间分成两小，第一个小区间是从l开始，长度为$2^k$,第二个区间是从r结束，长度为$2^k$，$k=lo{g}_2(len)下取整$
举个例子，比如区间[1,5]长度为5，那么k=2小区间的长度为4，第一个小区间是为[1,4],第二个小区间为[2,5]，这两个小区间刚好完全覆盖大区间[1,5]，所以在这两个小区间中取一个max，就得到了大区间的max，这样就能在$O(nlogn)$的预处理下，用$O(1)$的时间复杂度查询。
代码如下:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=2e5+10,M=20;

int h[N];
int f[N][M];//f[i][j]表示考虑以i为开头，长度为2^j的区间最大值
int n,m;
void st(){
    for(int i=0;i<M;i++)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
            if(!i) f[j][i]=h[j];
            else f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]);
}
int query(int l,int r){
    int len=r-l+1;
    int k=log(len)/log(2);
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
    st();
    cin>>m;
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",query(l,r));
    }
    return 0;
}