2.3.7 学⽣t分布

先丢个链接：https://www.matongxue.com/madocs/580/

链接中的学生t分布公式：

书中的t分布

以下要从高斯分布推导出学生t分布

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已知高斯分布的精度的共轭分布是Gamma分布。假设我们有一个一元高斯分布和一个Gamma分布，我们把精度积分出来，可以得到的边缘分布

然后令，，新参数下分布为

参数为t分布的精度（通常不等于方差的倒数），参数为自由度，作用如下图所示，对于的情况，t 分布变为了柯西分布( Cauchy distribution )，而在极限 的情况下，t 分布变成了高斯分布 ，均值为 ，精度为 。

可以看出t分布比高斯分布有更长的尾巴，也就是两边延伸得更开，这给出了t分布的一个重要性质——鲁棒性，更长的尾巴意味着对于离群点能有更好的忍耐度，不会像高斯分布那样敏感。

在实际应用中,离群点可能产生于生成数据的过程,这个过程对应于一个有着长尾的概率分布,也可能产生于
误标记的数据。鲁棒性也是回归问题的一个重要性质。毫不惊讶地说,回归的最小平方的方法并不具有鲁棒性,因为它对应于(条件)高斯分布下的最大似然解。通过让回归模型基于一个长尾的概率分布(例如 t 分布),我们可以得到一个更加鲁棒的模型。