比赛题目训练系列19 (Central Europe Regional Contest 2013) C题

Central Europe Regional Contest 2013 C题

C. Magical GCD

• 题意：给一个序列 ($n\le 10^5$)，问连续字段的gcd乘区间长度，这个东西的最大值是多少。
• 一个比较慢的方法是，我们枚举左端点，然后找到 gcd 改变的地方，由于每个 gcd 改变的时候，都是除以了若干个质因数。改变的地方的数量是 log 级别的。
• 一开始是用线段树处理出来了这些东西，但是超时了，复杂度是 $O(n\ast {\log }^{3}n)$.
• 但是，用 ST 表没有问题，因为 ST 表是 $O(1)$ 的查询时间（把 ${\log }_{2}x$ 预处理出来就可以了）.

#include
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long ll;
ll lg[N], a[N], f[N][20];
int pw[30];
int n;
ll query(int l, int r)
{
    int len = r - l + 1;
    return __gcd(f[l][lg[len]], f[r - pw[lg[len]] + 1][lg[len]]);
}
void solve()
{
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int st = i;
        ll gcd = a[i];
        while(st <= n){
            gcd = __gcd(gcd, a[st]);
            int l = st, r = n;
            while(l < r){
                int mid = (l + r + 1) / 2;
                if(query(i, mid) < gcd) r = mid - 1;
                else l = mid;
            }
            ans = max(ans, query(i, l) * (l - i + 1));
            st = l + 1;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main()
{
    for(int i = 1; i < N; i++){
        lg[i] = log2(i);
    }
    pw[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 20; i++){
        pw[i] = pw[i - 1] * 2;
    }
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = a[i];
        for(int j = 1; j <= 18; j++){
            for(int i = 1; i <= n; i++){
                if(i + pw[j] - 1 > n) break;
                f[i][j] = __gcd(f[i][j - 1], f[i + pw[j - 1]][j - 1]);
            }
        }
        solve();

    }
    return 0;
}

• 不过还有一个更简单，复杂度更低的做法. 就是枚举右端点，那么gcd应该是一段一段的. 那么记录先来每一段的左端点。然后右端点往右移动一个的时候，可以枚举每一个左端点，然后和右端点取gcd. 当有gcd相同的时候，就合并为一段区间.

#include
using namespace std;
#define x first
#define y second
const int N = 100010;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> P;
ll a[N];
int n;
void solve()
{

    ll ans = 0;
    vector<P> res;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(auto &p : res){
            p.x = __gcd(p.x, a[i]);
        }
        res.push_back({a[i], i});
        vector<P> tmp;
        for(auto p : res){
            if(tmp.size() && tmp.back().first == p.first) continue;
            tmp.push_back(p);
            ans = max(ans, p.first * (i - p.second + 1));
        }
        res = tmp;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}