【学习笔记】[省选联考 2021 A 卷] 矩阵游戏

让我联想到了 [APIO2011] 方格染色 。

经典的结论， 显然$a_{i,j}$的取值只与$a_{i,1},a_{1,j},a_{1,1}$有关。

第一个难点在于观察系数。发现$a_{1,j}$和$i$有关，$a_{i,1}$和$j$有关，$a_{1,1}$和$i+j$有关。常数的部分直接递推就好了。因为异或变成了加法所以肯定结论和上面那道题会有不一样。

这样我们得到了$n\times m$个不等式。但是每个不等式有$3$个变量，这是难以处理的。

首先，能否将不等式进行等价变形？（例如不等式整体加减）但是这样的 变形通常不是等价的 ，因此比较难操作；另一个方向是，能否将不等式的形式统一化？不妨假设$a_{1,1}=0$，这样我们就消掉了一个未知数。然后，对于二元不等式，最容易想到的就是差分约束。这意味着我们要让$a_{i,1}$和$a_{1,j}$的系数相反。

那么怎么拼凑出差分的形式呢？我们发现不能同时让所有的$\{a_{1,j}\}$取反，或者同时让所有的$\{a_{i,1}\}$取反，而是应该让奇数位置的$a_{1,j}$取反，偶数位置的$a_{i,1}$取反，这样恰好就满足条件了。

于是用$\text{spfa}$跑差分约束即可。

但是这个做法有一个最大的问题。怎么确定$a_{1,1}$？这说明我们设置的变量还是有一点不对劲，在形式上还是存在一些缺陷。事实上我们可以通过另一种方法规避这个问题：

先不考虑$a_{i,j}$的范围，求出一组解。然后我们发现操作可以等价于将一行或一列交替加减，没错这就是调整法！现在回头看来和为定值这个限制其实是相当宽松的，所以可以用调整法。

这道题目还是非常经典的。

复杂度$O(n^3)$。

#include
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=605;
int T,n,m,V=1e6,len[N],vis[N];
ll a[N][N],b[N][N],ans[N][N],dis[N];
vector<pair<int,ll>>G[N];
queue<int>Q;
void add(int x,int y,int z){
    G[x].pb({y,z});
}
void solve(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=1;j<m;j++){
            cin>>b[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)a[1][i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i][1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=2;j<=m;j++){
            a[i][j]=b[i-1][j-1]-a[i-1][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n+m;i++)G[i].clear();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(!(i+j&1)){
                add(n+j,i,a[i][j]);
                add(i,n+j,V-a[i][j]);
            }
            else{
                add(n+j,i,V-a[i][j]);
                add(i,n+j,a[i][j]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n+m;i++)dis[i]=inf,vis[i]=0;
    len[1]=1;while(Q.size())Q.pop();Q.push(1),dis[1]=0;
    while(Q.size()){
        int u=Q.front();Q.pop();vis[u]=0;
        for(auto v:G[u]){
            if(dis[u]+v.se<dis[v.fi]){
                dis[v.fi]=dis[u]+v.se;
                len[v.fi]=len[u]+1;
                if(len[v.fi]>n+m){
                    cout<<"NO"<<"\n";
                    return;
                }
                if(!vis[v.fi])vis[v.fi]=1,Q.push(v.fi);
            }
        }
    }
    cout<<"YES"<<"\n";
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(!(i+j&1)){
                ans[i][j]=a[i][j]-dis[i]+dis[n+j];
            }
            else{
                ans[i][j]=a[i][j]+dis[i]-dis[n+j];
            }
            cout<<ans[i][j]<<" ";
        }
        cout<<"\n";
    }
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
}