一张图!简单认识一下函数

函数重要内容:

          • 一、函数的极限
            • 1.1极限的充要条件
            • 1.2 无穷小量与无穷大量
          • 二、函数的连续性
            • 2.1 连续的定义
            • 2.2 连续函数
            • 2.3 非连续函数(间断点)
            • 2.4 闭区间上连续函数的性质
          • 三、函数四则运算的求导法则
          • 四、常用函数的求导方法
            • 4.1 复合函数的求导法则
            • 4.2 反函数的求导法则
            • 4.3 隐函数的求导法则
            • 4.4 对数求导法
            • 4.5 由参数方程所确定的函数导数

可以先看下面这张图,了解一下函数基本概念、表示方法、特性以及分类,然后再看具体的内容。
一张图!简单认识一下函数_第1张图片

一、函数的极限

函数的极限问题,是为了估测 自变量在变化时,f(x)在定义域上的变化趋势。

1.1极限的充要条件

首先,极限存在的充分必要条件为,当x→x0时,f(x)的左右极限均存在且相等,即:
在这里插入图片描述

1.2 无穷小量与无穷大量
  • 无穷小量以零为极限的变量,不是数.但由于零的极限是零,所以零是可以看作无穷小量的唯一常数.
  • 在自变量的某个变化过程中,limf(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+α(x),其中α(x)为无穷小量.
  • 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量
  • 有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小

误区更正:
1)无穷大不是很大的数,而是具有非正常极限的函数,它是描述函数的一种状态.
2)切勿将[插图]认为极限存在.
3)函数为无穷大,必定无界.但反之不真

二、函数的连续性
2.1 连续的定义
  • 定义1
    设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当自变量x在x0点的增量Δx趋向于零时,对应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋向于零,即
    在这里插入图片描述
    则称函数y=f(x)在x0点连续.
  • 定义2
    设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在x0点的函数值f(x0),即
    在这里插入图片描述
    则称函数y=f(x)在x0点连续.
2.2 连续函数
  • 定义:
    如果f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续,称f(x)为(a,b)区间内的连续函数;
    如果f(x)在开区间(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续,则称f(x)在闭区间[a,b]上连续,称f(x)为[a,b]区间上的连续函数.
2.3 非连续函数(间断点)

一张图!简单认识一下函数_第2张图片

2.4 闭区间上连续函数的性质

主要有两个定理:介值定理(中间必存在值)、最大最小值定理。

  • 介值定理
    一张图!简单认识一下函数_第3张图片
    一张图!简单认识一下函数_第4张图片
  • 最大最小值定理
    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ1,使得f(ξ1)为最大值(记为M);又至少存在一点ξ2,使得f(ξ2)为最小值(记为m).
    一张图!简单认识一下函数_第5张图片
三、函数四则运算的求导法则
  • 法则1 两个函数的代数和的导数(u±v)′ = u′±v′
  • 法则2 两个函数乘积的导数(u·v)′=u′v+uv′
    • 推导1:(cu)′=cu′
    • 推到2:(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′
  • 法则3 两个函数商的导数
    在这里插入图片描述
    • 推导:在这里插入图片描述
四、常用函数的求导方法
4.1 复合函数的求导法则
  • 法则4 (链式法则)设函数u=φ(x)在x点处可导,而函数y=f(u)在x点的对应点u(u=φ(x))处可导,则复合函数y=f(φ(x))在x点处可导,且其导数为f′(φ(x))=f′(u)φ′(x)  或
    在这里插入图片描述
4.2 反函数的求导法则

一个函数的反函数的导数等于这个函数的导数的倒数.

  • 法则5 如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导,且导数不等于零,则它的反函数x=φ(y)在对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上可导,且 φ’(y)= 1 / f’(x)
4.3 隐函数的求导法则

首先介绍显函数与隐函数的概念。
(1)显函数:对函数y能明确写成自变量x的解析式y=f(x)。
(2)隐函数:两个自变量x,y间的函数关系是由方程F(x,y)=0所确定的
求导技巧:
求隐函数的导数并不需要将y从方程F(x,y)=0中解出来,亦不需要引进新的法则,只要对方程F(x,y)=0的两边分别对x求导,便得到所求函数的导数.求导时注意y是x的函数,利用复合函数求导法则,便能得到所求函数的导数.
例如,求由方程ey=x2y+ex所确定的隐函数y的导数y′:
在这里插入图片描述

4.4 对数求导法

对数求导法:将函数的表达式两边取自然对数,并利用对数性质将表达式化简,然后应用复合函数的求导法则,将等式两边对自变量求导,最后得出函数的导数。
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4.5 由参数方程所确定的函数导数

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