算法 LC 杨辉三角 II

题目描述

给定一个非负索引 rowIndex，返回「杨辉三角」的第 rowIndex 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

截屏2022-04-04 下午5.48.47.png

示例 1:
输入: rowIndex = 3
输出: [1,3,3,1]

示例 2:
输入: rowIndex = 0
输出: [1]

示例 3:
输入: rowIndex = 1
输出: [1,1]

题解

思路1:动态规划

dp[i][0] = 1
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] (0 dp[i][i] = 1

    static public func getRow1(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        if rowIndex < 0 {return [Int]()}
        if rowIndex == 0 {return [1]}
        var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: rowIndex+1), count: rowIndex+1)
        
        dp[0][0] = 1
        for i in 1...rowIndex {
            dp[i][0] = 1
            dp[i][i] = 1
            
            for j in 1..

优化

f[i][j] 只与f[i-1][...]有关，与f[i−2][..] 及之前的状态无关
我们使用两个长度为n的一维数组进行转移，将i根据奇偶性映射到其中一个一维数组，那么i−1 就映射到了另一个一维数组。这样我们使用这两个一维数组，交替地进行状态转移

    static public func getRow2(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        if rowIndex < 0 {return [Int]()}
        if rowIndex == 0 {return [1]}
        var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: rowIndex+1), count: 2)
        
        dp[0][0] = 1
        for i in 1...rowIndex {
            let curr = I%2
            let prew = 1-curr
            
            dp[curr][0] = 1
            dp[curr][i] = 1
            
            for j in 1..

优化

从i到0递减地枚举j，只使用一个长度为n的一维数组f，完成状态转移

为什么只有在递减地枚举j时，才能省去一个一维数组？当我们在计算位置(i,j) 时，f[j+1] 到f[i] 已经是第i 行的值，
而f[0] 到f[j] 仍然是第i−1 行的值。此时我们直接通过f[j]=f[j−1]+f[j]进行转移，恰好就是在(i−1,j−1) 和(i−1,j) 中进行选择。
但如果我们递增地枚举j，那么在计算位置(i,j) 时，f[0] 到f[j−1] 已经是第i行的值。如果我们仍然使用上述状态转移方程，那么是在(i,j−1) 和(i−1,j) 中进行选择，就产生了错误

    static public func getRow3(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        if rowIndex < 0 {return [Int]()}
        if rowIndex == 0 {return [1]}
        var dp = Array(repeating: 0, count: rowIndex+1)
        
        dp[0] = 1
        for i in 1...rowIndex {
            dp[i] = 1
            
            for j in (1..

思路2:线性递推

C(n,m) = A(n,m)/A(m,m) = A(n,n)/(A(n-m,n-m)*A(m,m)) = n! / ((n-m)! * m!)

C(n,m) = n! / ((n-m)! * m!) = n! / ((n-m+1)! * (m-1)!) * ((n-m+1)/m) = C(n,m-1) * (n-m+1)/m

    static public func getRow4(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        if rowIndex < 0 {return [Int]()}
        if rowIndex == 0 {return [1]}
        var dp = Array(repeating: 0, count: rowIndex+1)
        dp[0] = 1
        for i in 1...rowIndex {
           dp[i] = dp[i-1] * (rowIndex-i+1)/I
        }
        return dp
        
    }

类似:三角形最小路径和
参考：https://leetcode-cn.com/problems/pascals-triangle-ii
https://leetcode-cn.com/problems/pascals-triangle-ii/solution/yang-hui-san-jiao-ii-by-leetcode-solutio-shuk/