递归及解法

解递归式的三种方法

代数法

1.猜答案
2.呈现表达式
3.数学归纳法求解

例子如下：T(n) = 4T(n / 2) + n且T(1) = θ(1)

tip:容易猜错

递归树法

画出递归树，然后根据主观结论计算

例子如下：T(n) = T(n / 4) + T(n / 2) + n^2且T(1) = θ(1)

tip:不够严谨，没有证明

主方法

递归式符合T(n) = aT(n / b) +f(n)且a>=1，b>1(子问题要越来越小)，f(n)渐进趋正(对于n足够大，f(n)总是正的，即存在某特定n0当n>=n0时f(n)大于0)

主定理有三种情况，接下来会讲：

第一种情况

f(n) = O((n^logb(a) - ε))且ε > 0，则T(n) = θ(n^logb(a))

第二种情况

f(n) = θ(n^logb(a) * lgk * n)且k >= 0，则T(n) = θ(n^logb(a) * lg(k+1) * n)

第三种情况

f(n) = Ω(n^(logb(a) + ε))且ε > 0 & af(n / b) <= (1 - ε')f(n)即f(n)在递归中不断变小 且ε' > 0，则T(n) = θ(f(n))

证明

使用递归树法来证明三种情况

tip:限制颇多，有且仅有一个子问题