数据结构——堆

堆（Heap）是一种常见的数据结构，用于维护一组元素，并支持高效地找到最大值或最小值。在堆中，每个节点的值都必须满足特定的堆性质，即父节点的值要么大于等于（最大堆）或小于等于（最小堆）其子节点的值。

堆通常用于优先队列、排序算法等场景，其中最常见的是二叉堆（Binary Heap）。二叉堆是一种完全二叉树（Complete Binary Tree），它可以使用数组实现，并且满足堆性质。

以下是一个用 C++ 实现的最小堆的示例：

#include 
#include 

class MinHeap {
private:
    std::vector<int> heap;

    // 获取节点的父节点索引
    int parent(int index) {
        return (index - 1) / 2;
    }

    // 获取节点的左子节点索引
    int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    // 获取节点的右子节点索引
    int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

    // 交换数组中两个元素的值
    void swap(int& a, int& b) {
        int temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }

    // 向上调整节点，使其满足堆性质
    void heapifyUp(int index) {
        while (index > 0 && heap[parent(index)] > heap[index]) {
            swap(heap[index], heap[parent(index)]);
            index = parent(index);
        }
    }

    // 向下调整节点，使其满足堆性质
    void heapifyDown(int index) {
        int smallest = index;
        int left = leftChild(index);
        int right = rightChild(index);
        
        if (left < heap.size() && heap[left] < heap[smallest]) {
            smallest = left;
        }
        if (right < heap.size() && heap[right] < heap[smallest]) {
            smallest = right;
        }
        
        if (smallest != index) {
            swap(heap[index], heap[smallest]);
            heapifyDown(smallest);
        }
    }

public:
    // 插入元素到堆中
    void insert(int value) {
        heap.push_back(value);
        int index = heap.size() - 1;
        heapifyUp(index);
    }

    // 获取堆中的最小值
    int getMin() {
        if (heap.empty()) {
            throw std::out_of_range("Heap is empty.");
        }
        return heap[0];
    }

    // 删除堆中的最小值
    void deleteMin() {
        if (heap.empty()) {
            throw std::out_of_range("Heap is empty.");
        }
        heap[0] = heap.back();
        heap.pop_back();
        heapifyDown(0);
    }
};

int main() {
    MinHeap minHeap;

    // 插入元素到堆中
    minHeap.insert(4);
    minHeap.insert(2);
    minHeap.insert(6);
    minHeap.insert(1);
    minHeap.insert(5);

    // 获取并删除堆中的最小值
    int minVal = minHeap.getMin();
    std::cout << "最小值：" << minVal << std::endl;
    minHeap.deleteMin();

    // 获取并删除堆中的最小值
    minVal = minHeap.getMin();
    std::cout << "最小值：" << minVal << std::endl;
    minHeap.deleteMin();

    return 0;
}

上述示例中，定义了一个最小堆的类 MinHeap，它使用 std::vector 实现底层的数组。该类提供了插入元素、获取最小值和删除最小值的操作。插入操作将新元素添加到堆的末尾，并通过向上调整节点来维护堆性质。获取最小值操作直接返回堆顶元素的值。删除最小值操作将堆顶元素与末尾元素交换，并通过向下调整节点来维护堆性质。

在 main 函数中，首先创建了一个最小堆对象 minHeap，然后通过调用 insert 操作将元素 4、2、6、1 和 5 插入堆中。接着，分别调用 getMin 和 deleteMin 操作获取并删除堆中的最小值。最后，输出结果。输出结果为：

最小值：1
最小值：2

这个示例展示了最小堆的基本操作，包括插入元素、获取最小值和删除最小值。最小堆常用于需要高效地获取最小值的场景，如优先队列、图算法（如 Dijkstra 算法）等。