LeetCode 1547. 切棍子的最小成本--动态规划--区间DP

1547. 切棍子的最小成本

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的 最小总成本 。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

2 <= n <= 10^6
1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
1 <= cuts[i] <= n - 1
cuts 数组中的所有整数都 互不相同

题解：

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比较明显的区间DP，我们认为dp[i][j]表示cuts[i]到cuts[j]这一段进行处理能得到的答案，那么针对样例1：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
这里需要离散化一下：
下标0、1、2、3、4、5对应棍子的位置：0、1、3、4、5、7，因为单独的一个距离是不可再分割的，所以dp[0][1]=dp[1][2]=…=dp[4][5]=0，于是状态转移方程如下：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][x]+dp[x][j]+cuts[j]-cuts[i]);

AC代码

class Solution {
public:
    int dp[110][110];
    int minCost(int n, vector<int>& cuts) {
        memset(dp,0x3f3f3f,sizeof(dp));
        sort(cuts.begin(),cuts.end());注意排序
        cuts.insert(cuts.begin(),0);
        cuts.push_back(n);
        for(int i=0;i<cuts.size()-1;i++)//初始化
        {
            dp[i][i+1]=0;//单独的一段不可再切割
        }
        for(int i=cuts.size()-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=i+1;j<cuts.size();j++)
            {
                for(int x=i+1;x<j;x++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][x]+dp[x][j]+cuts[j]-cuts[i]);
            }
        }
        return dp[0][cuts.size()-1];
    }
};