高中奥数 2021-11-21

2021-11-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P013 例1）

求下列各复数的辐角主值:

(1);

(2);

(3);

(4)z=.

分析与解

(1)因为是纯虚数,且,所以.

(2)由于、不确定,需讨论,分六类:

当,时,复数对应的点位于第一象限,由辐角主值的定义,,由反正切函数的定义知,.

当,时,复数对应的点位于第二象限,

当,时,复数对应的点位于第三象限,.

当,时,复数对应的点位于第四象限,

当时,如果,;如果,.

综上所述

$\arg z= \begin{cases}\arctan \dfrac{b}{a}, & (a>0, b \geqslant 0) \\ \pi+\arctan \dfrac{b}{a}, & (a<0) \\ 2 \pi+\arctan \dfrac{b}{a}, & (a>0, b<0) \\ \dfrac{\pi}{2}, & (a=0, b>0) \\ \dfrac{3 \pi}{2} . & (a=0, b<0)\end{cases}$

(3)不能错误地理解为4(因为)就是该复数的辐角主值,因为,已知的复数表达形式不是三角形式,事实上,

此时,不能错误地理解为是辐角主值(这是因为).该复数的辐角主值是:

(4)首先把绝对值符号去掉,并“改造”成复数的三角形式:

$\begin{aligned} z&=|\cos \theta |+\mathrm{i}|\sin \theta |\\ &=-\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \\ &=\cos \left(\pi -\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\pi -\theta \right),\theta \in \left(\dfrac{5}{2}\pi ,3\pi \right) \end{aligned}$

因为,所以 .

2021-11-21-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P014 例2）

化下列各复数为三角形式:

(1);

(2);

(3) ;

(4) .

分析与解

解决这类问题的关键是准确地掌握复数三角形式的四个外部特征:

模——根据模的定义:向量的长度有;

角相同——这是因为两个角表示的是同一个复数的辐角;

余弦在前,正弦在后——因为在中,是点的横坐标,且 ,所以“余弦在前”;

“加”相连——由,自然有“加”相连.

(1)因为,并且

解得 .

所以的三角形式是.

(2) $\begin{aligned} z&=r\left(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta \right)\\ &=r\left[\cos \theta +\mathrm{i}\sin \left(-\theta \right)\right]\\ &=r\left[\cos \left(- \theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(-\theta \right)\right]. \end{aligned}$

事实上,与互为共轭复数;它们在复平面上对应的向量关于实轴对称,因此,它们的模相等,有一对辐角互为相反数,即

类似地有

等等.

(3)利用三角函数公式

至此,不要以为它就是三角形式了,由于的取值范围不确定,可正可负,需讨论:

当时,复数的三角形式是;

当时,复数的三角形式是.

(4)

$\begin{aligned} z&=1+\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta \\ &=2\cos ^{2}\dfrac{\theta }{2}-2\mathrm{i}\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}\\ &=2\cos \dfrac{\theta }{2}\left(\cos \dfrac{\theta }{2}-\mathrm{i}\sin \dfrac{\theta }{2}\right)\\ &=2\cos \dfrac{\theta }{2}\left[\cos \left(-\dfrac{\theta }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\dfrac{\theta }{2}\right)\right] \end{aligned}$

当时,复数的三角形式是;

当时,复数的三角形式是.

2021-11-21-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P016 例3）

已知复数、满足,,,,求、.

分析与解

引入复数的三角形式,设,则

因为,

所以 ,

即,

因为,

所以,

于是,有或,

即或.

故或.

由,知

或,

故知

或.

综上可知,所求复数为,或,.

2021-11-21-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P017 例4）

已知复数、满足,,,试求的值.

分析与解

由,知,,.

由

$\begin{aligned} 3z_{1}-2z_{2}&=\dfrac{1}{3}z_{2}\overline{z_{2}}z_{1}-\dfrac{1}{2}z_{1}\overline{z_{1}}z_{2}\\ &=\dfrac{1}{6}z_{1}z_{2}\left(2\overline{z_{2}} -3\overline{z_{1}}\right))\\ &=-\dfrac{1}{6}z_{1}z_{2}\left(\overline{3z_{1}-2z_{2}}\right), \end{aligned}$

可知

注

本题亦可设出、的三角形式求解,计算较为复杂,读者不妨一试.

高中奥数 2021-11-21

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