定积分求旋转体的体积习题

前置知识：定积分求旋转体的体积

习题1

求曲线$y=\sqrt{r^2-x^2}(x\in [-r,r])$绕$x$轴旋转得到的旋转体的体积。

解：
V = π ∫ − r r ( r 2 − x 2 ) d x = π × ( r 2 x − 1 3 x 3 ) ∣ − r r = 3 4 π r 3 \qquad V=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx=\pi\times (r^2x-\dfrac 13x^3)\bigg\vert_{-r}^r=\dfrac 34\pi r^3 V=π∫−rr​(r2−x2)dx=π×(r2x−31​x3) ​−rr​=43​πr3

这就是球的体积公式。

习题2

计算$y=e^x$，$y=\ln x$，$x=1$和$x=e$围成的图形绕$x$轴旋转得到的旋转体的体积。

解：
V 1 = π ∫ 1 e ( ln ⁡ x ) 2 d x = π × [ x ( ln ⁡ x ) 2 − 2 x ln ⁡ x + 2 x ] ∣ 1 e = π e − 2 π \qquad V_1=\pi\int_1^e(\ln x)^2dx=\pi\times [x(\ln x)^2-2x\ln x+2x]\bigg\vert_1^e=\pi e-2\pi V1​=π∫1e​(lnx)2dx=π×[x(lnx)2−2xlnx+2x] ​1e​=πe−2π

V 2 = π ∫ 1 e e 2 x d x = π × ( 1 2 e 2 x ) ∣ 1 e = π 2 e 2 e − π 2 e 2 \qquad V_2=\pi\int_1^ee^{2x}dx=\pi\times (\dfrac 12e^{2x})\bigg\vert_1^e=\dfrac{\pi}{2}e^{2e}-\dfrac{\pi}{2}e^2 V2​=π∫1e​e2xdx=π×(21​e2x) ​1e​=2π​e2e−2π​e2

$V=V_2-V_1=\frac{\pi }{2}{e}^{2e}-\frac{\pi }{2}{e}^2-\pi e-2\pi$