设平面区域 D D D由 x = a x=a x=a, x = b x=b x=b, x x x轴和连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)围成。将 D D D绕 x x x轴旋转一周,得到旋转体 H H H,我们要计算旋转体 H H H的面积。
设 V ( x ) V(x) V(x)为 H H H中横坐标在 [ a , x ] [a,x] [a,x]上的部分的体积,取 x x x的增量 Δ x > 0 \Delta x>0 Δx>0,记 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ x , x + Δ x ] [x,x+\Delta x] [x,x+Δx]上的上、下确界分别为 M M M和 m m m,则 Δ V \Delta V ΔV应介于 π m 2 Δ x \pi m^2\Delta x πm2Δx和 π M 2 Δ x \pi M^2\Delta x πM2Δx之间。因为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,所以当 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0时,
π m 2 Δ x = π f ( x ) 2 Δ x + o ( Δ x ) \qquad \pi m^2\Delta x=\pi f(x)^2\Delta x+o(\Delta x) πm2Δx=πf(x)2Δx+o(Δx)
π M 2 Δ x = π f ( x ) 2 Δ x + o ( Δ x ) \qquad \pi M^2\Delta x=\pi f(x)^2\Delta x+o(\Delta x) πM2Δx=πf(x)2Δx+o(Δx)
由此可得
Δ V = π f ( x ) 2 Δ x + o ( Δ x ) \qquad \Delta V=\pi f(x)^2\Delta x+o(\Delta x) ΔV=πf(x)2Δx+o(Δx)
所以, V ( x ) V(x) V(x)的微分为
d V = π f ( x ) 2 d x \qquad dV=\pi f(x)^2dx dV=πf(x)2dx
那么,旋转体 H H H的体积为
V = ∫ a b π f ( x ) 2 d x = π ∫ a b f ( x ) d x \qquad V=\int_a^b\pi f(x)^2dx=\pi\int_a^bf(x)dx V=∫abπf(x)2dx=π∫abf(x)dx
这样就能够求出旋转体的体积了。
求曲线 y = sin x ( x ∈ [ 0 , π ] ) y=\sin x(x\in[0,\pi]) y=sinx(x∈[0,π])绕 x x x轴旋转得到的旋转体的体积。
解:
V = ∫ 0 π sin 2 x d x \qquad V=\int_0^{\pi}\sin^2 xdx V=∫0πsin2xdx
\qquad 因为 ∫ 0 π sin 2 x d x = ∫ 0 π cos 2 x d x \int_0^{\pi}\sin^2xdx=\int_0^{\pi}\cos^2xdx ∫0πsin2xdx=∫0πcos2xdx
\qquad 所以 ∫ 0 π sin 2 x d x = 1 2 ∫ 0 π ( sin 2 x + cos 2 x ) d x = π 2 \int_0^{\pi}\sin^2 xdx=\dfrac 12\int_0^{\pi}(\sin^2 x+\cos^2 x)dx=\dfrac{\pi}{2} ∫0πsin2xdx=21∫0π(sin2x+cos2x)dx=2π