数据结构——查找最全总结（期末复习必备）
目录
查找的基本概念
线性表的查找
顺序查找
折半查找（二分或对分查找）
分块查找（索引顺序查找）
树表的查找
二叉排序树
定义：
二叉排序树的查找：
二叉排序树的插入：
二叉排序树的创建：
二叉排序树的删除：
平衡二叉树
B-树
B+树
散列表的查找
散列表的基本概念
散列函数的构造方法
散列表的查找
查找的基本概念
查找表：查找表是由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。由于”集合“中的数据元素之间存在着完全松散的关系，因此查找表是一种非常灵便的数据结构，可以用其他的数据结构来实现。
关键字：关键字是数据元素（或记录）中某个数据项的值，用它可以标识一个数据元素（或记录）；若此关键字可以唯一的标识一个记录，则称此关键字为主关键字（对不同的记录，其主关键字均不同）。反之，称用以识别若干记录的关键字为次关键字。当数据元素只有一个数据项时，其关键字即为该数据元素的值。
查找：查找是指根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的记录或数据元素。若表中存在这样的一个记录，则称查找成功，此时查找的结果可给出整个记录的信息，或指示该记录在查找表中的位置；若表中不存在关键字等于给定值的记录，则称查找不成功，此时查找的结果可给出一个“空”记录或“空”指针。
动态查找表：若在查找的同时对表做修改操作（插入删除等）则相应的表称之为动态查找表；否则称之为静态查找表
平均查找长度ASL（查找算法的评价指标）：为确定记录在查找表中的位置，需和给定值进行比较的关键字个数的期望值，称为查找算法在查找成功时的平均查找长度（Average Search Length）
线性表的查找
顺序查找
顺序查找的查找过程：从表的一端开始，依次将记录的关键字和给定的值进行比较，若某个记录的关键字和给定值相等，则查找成功；反之，若扫描整个表后，仍未找到关键字和给定值相等的记录，则查找失败。
应用范围：
- 顺序表或线性链表表示的静态查找表
- 表内元素之间无序
数据元素类型定义如下：
算法描述：
设置监视哨的顺序查找：
算法分析：时间复杂度O(n)
算法优点是算法简单，对表结构无任何要求，既适用于顺序结构，也适用于链式结构，无论记录是否按关键字有序均可应用。
缺点就是平均查找长度大，查找效率较低，所以当n很大时，不宜使用顺序查找。
折半查找（二分或对分查找）
折半查找是一种效率高效的查找方法。但是折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。
折半查找算法思路：（非递归）
- 设表长为n、low、high和mid分别指向待查元素所在区间的上界、下界和中点，key为给定的要查找的值
- 初始时，令low=1，high=n，mid=[(low+high)/2]
- 让k与mid指向的记录比较；若key==R[mid].key，查找成功；若key
折半查找的性能分析——判定树
思路：把顺序表中的每个元素查找到所用的查找次数写出来，然后次数为1的作为树的根结点，然后查找次数为2的放到第二层，依次把每个元素放到树中。
查找成功：
比较次数=路径上的结点数
比较次数=结点的层数
比较次数是小于或等于树的深度（log2n）+1
平均查找长度ASL(成功时)：
折半查找优点：效率比顺序查找高
缺点：折半查找只适用于有序表，且限于顺序存储结构（对线性链表是无效的）
分块查找（索引顺序查找）
分块查找是一种性能介于顺序查找和折半查找之间的一种查找方法。
条件：
- 将表分成几块，且表或者有序，或者分块有序；即若i
- 建立索引表（每个结点含有最大关键字域和指向本块第一个结点的指针，且按关键字有序）
查找过程：首先确定待查记录所在块（顺序或折半查找），再再块内查找（顺序查找）
分块查找的平均查找长度：
其中n为元素个数，s为每块元素个数
查找方法比较：
树表的查找
当表插入、删除操作频繁时，为维护表的有序性，需要移动表中很多记录。我们改用动态查找表，表结构在查找过程中动态生成。
二叉排序树
二叉排序树(Binary Sort Tree）又称二叉查找树，它是一种对排序和查找都很有用的特殊叉树。
定义：
二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉排序树是递归定义的。由定义可以得出二叉排序树的一个重要性质:中序遍历一棵二叉树时可以得到一个结点值递增的有序序列。
二叉排序树的二叉链表存储：
二叉排序树的查找：
①若二叉排序树为空,则查找失败,返回空指针。
②若二叉排序树非空，将给定值key与根结点的关键字T->data.key进行比较:
- 若key 等于T->data.key，则查找成功,返回根结点地址;
- 若key小于T>data.key，则递归查找左子树;
- 若key大于T->data.key，则递归查找右子树。
算法分析：
二叉排序树的查找分析：含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。
最好情况：与折半查找中的判定树相同；O(log2n)
最坏情况：变成单支树的形态O(n)
二叉排序树的插入：
算法步骤：
若二叉排序树为空,则待插入结点*S作为根结点插入到空树中。
若二叉排序树非空，则将key与根结点的关键字T->data.key 进行比较:
- 若key小于T->data.key，则将*S插入左子树;
- 若key大于T->data.key，则将*S插入右子树。
注意：新插入的结点一定是在叶子上
算法描述：
二叉排序树的创建：
①将二叉排序树T初始化为空树
②读入一个关键字为key的结点。
③如果读入的关键字key不是输人结束标志，则循环执行以下操作:
- 将此结点插入二叉排序树T中
- 读入一个关键字为key的结点
算法描述：
一个无序序列可通过构造二叉排序树而变成一个有序序列，构造树的过程就是对无序序列进行排序的过程。
插入的结点均为叶子结点，故无需移动其他结点。相当于在有序序列上插入记录而无需移动其他记录。
关键字的输入顺序不同，建立的不同二叉排序树。
二叉排序树的删除：
被删除的结点可能是二叉排序树中的任何结点，删除结点后，要根据其位置不同修改其双结点及相关结点的指针,以保持二叉排序树的特性。
从二叉排序树中删除一个结点，不能把以该结点为根的子树都删去，只能删掉该节点，并且还应保证删除后所得的二叉树仍然满足二叉排序树的性质不变。
算法步骤：
首先从二叉排序树的根结点开始查找关键字为key 的待删结点，如果树中不存在此结点，则不做任何操作;否则，假设被删结点为*p(指向结点的指针为p)，其双亲结点为*f(指向结点的指针为f)，PL和PR分别表示其左子树和右子树。
(1)若*p结点为叶子结点，即PL和PR均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。f->lchild= NULL
(2)若*p结点只有左子树PL或者只有右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可。f->lchild= p->lchild;（或f->lchild= p->rchild;)
(3)若*p结点的左子树和右子树均不空。则让其左子树的最大值替换p结点，然后删除其左子树的最大值；或者取其右子树的最小值，然后让右子树的最小点替换p结点，然后删除其右子树的最小值。
平衡二叉树
二叉排序树查找算法的性能取决于二叉树的结构，而二叉排序树的形状则取决于其数据集。树的高度越小，查找速度越快；希望二叉树的高度可能小，因此我们研究一种特殊类型的二叉排序树，称为平衡二叉树(AVL)
平衡二叉树或者是空树，或者是具有如下特征的二叉排序树:
(1）左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1;
(2)左子树和右子树也是平衡二叉树
平衡因子：该节点左子树和右子树的深度之差。
平衡二叉树必须保证每个结点都是平衡因子绝对值小于1
对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在O(log2n)数量级，ASL也保持在O(log2n)量级
平衡调整的4种方法：
调整原则：降低高度 保持二叉排序树性质
注意：要是添加一个元素之后出现多个平衡因子绝对值大于1，那么选择子树小的进行调整
判断失衡类型：就是找到那个平衡因子绝对值大于1的结点，然后以这个结点为起点，向后看
B-树
前面介绍的查找方法均适用于存储计算机内存中较小的文件，统称为内查找法，都是以结点为单位进行查找。对于文件大且存放于外存进行查找时要用外查找；下面讲述用于外查找的平衡二叉树——B-树。
定义：
一棵m阶的B-树,或为空树,或为满足下列特性的m叉树:
(1）树中每个结点至多有m棵子树;
(2）若根结点不是叶子结点,则至少有两棵子树;
(3）除根之外的所有非终端结点至少有m/2棵子树;
(4）所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息，通常称为失败结点（失败结点并不存在，指向这些结点的指针为空。引入失败结点是为了便于分析B-树的查找性能);
(5）所有的非终端结点最多有m-1个关键字
B-树特点：
- 所有叶子结点均在同一层次，这体现出其平衡的特点。
- 树中每个结点中的关键字都是有序的，且关键字K1"左子树"中的关键字均小于K1，而其”右子树“中的关键字均大于K1，这体现出其有序的特点。
- 除叶子结点外，其余结点最多有m-1个关键字，m棵子树
B-树的查找：
B+树
B+树是一种B-树的变形，更适用于文件索引系统。
B+树和B-树的差异：
-棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于:
(1)有n棵子树的结点中含有n个关键字;
(2）所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，以及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接;
(3）所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树(根结点）中的最大（或最小）关键字
散列表的查找
散列表的基本概念
前面讨论的线性表、树表结构的查找方法，这类查找方法都是以关键字的比较为基础的。而散列表的思想是通过对元素的关键字值进行某种运算，直接求出元素的地址，即使用关键字到地址的直接转换方法，而不需要反复比较。
散列函数和散列地址：在记录的存储位置p和其关键字key之间建立一个确定的对应的关系H，使p=H(key)，称这个对应关系H为散列函数，p为散列地址。
散列方法（杂凑法）：选取某个函数，依该函数按关键字计算元素的存储位置，并按此存放；查找时，由同一个函数对给定值k计算地址，将k与地址单元中元素关键码进行比对，确定查找是否成功。
散列表：一个有限连续的地址空间，用以存储按散列函数计算得到相应散列地址的数据记录。通常散列表的存储空间是一个一维数组，散列地址是数组的下标。
冲突和同义词：对不同的关键字可能得到同一散列地址，即key1!=key2，而H(key1)=H(key2)，这种现象称为冲突。具有相同函数值的关键对该散列函数来说称作同义词，key1与key2互称为同义词。(冲突是不可避免的，我们只能尽可能减少)
散列函数的构造方法
使用散列表要解决好两个问题：
- 构造好的散列函数，所选函数尽可能简单，以便提高转换速度。所选函数对关键码计算出的地址，应在散列地址集中致均匀分布，以减少空间浪费。
- 制定一个好的解决冲突的方案，查找时如果从散列函数计算出的地址查不到关键码，则应当依据解决冲突的规则，有规律的查询其它相关单元。
构造散列函数要考虑一下因素：
- 散列表的长度
- 关键字的长度
- 关键字的分布情况
- 计算散列函数所需的时间
- 记录的查找频率
构造方法：
- 除留余数法
- 折叠法
- 平方取中法
- 数字分析法
处理冲突的方法：
- 开放地址法：基本思想就是把记录都存储在散列表数组中，当某一记录关键字key的初始散列地址发生冲突时，以冲突地址为基础，采用某种办法计算得到另外一个地址，如果仍重复依旧按照此方法继续寻找；找下一个地址的过程称为探测。
- 线性探测法：发生冲突时，从冲突地址的下一单元顺序寻找空单元，如果到最后一个位置也没有找到空单元，则回到表头位置开始继续寻找，直到寻找到一个空位。如果找不到空位，说明表已经满了，需要进行溢出处理
- 二次探测法：
2.链地址法：基本思想就是把具有相同散列地址的记录放在同一个单链表中，称之为同义词链表。有m个散列地址就有m个单链表，同时用数组HT[0……m-1]存放各个链表的头指针，凡是散列地址为i的记录都以结点方式插入到以HT[i]为头节点的单链表中。
优点：
- 非同义词不会冲突，无”聚焦“现象
- 链表上结点空间动态申请，更适合于表长不确定的情况
开放地址和链地址法的比较：
散列表的查找
算法步骤：
- 给定待查找的关键字key，根据造表时设定的散列函数计算H0= H(key)
- 若单元H0为空,则所查元素不存在。
- 若单元H0中元素的关键字为 key，则查找成功。
- 否则重复下述解决冲突的过程:
- 按处理冲突的方法,计算下一个散列地址H
- 若单元H为空,则所查元素不存在;
- 若单元H中元素的关键字为key，则查找成功。
算法描述：
查找过程中需要和给定值进行比较的关键字的个数取决于三个因素：散列函数、处理冲突的方法、散列表的装填因子a（装填因子a=表中填入的记录数/散列表的长度） ；a标志散列表的装满程度。直观的看，a越小，发生冲突的可能性越小；反之，a越大，表中已填入的记录越多，再做记录时，发生冲突的可能性越大，则查找时给定值与之进行比较的关键字的个数也就越多。
散列函数的好坏首先影响出现冲突的频繁程度。
结论：
- 散列表技术具有很好的平均性能，优于一些传统的技术
- 链地址法优于开地址法
- 除留余数法作散列函数优于其它类型函数