1.6 极限存在法则与两个重要极限

作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人!
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文章目录

  • 极限存在法则
    • 两边夹法则
    • 单调有界原理
  • 两个重要极限
    • lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 limx0xsinx=1
    • lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e limx(1+x1)x=e

极限存在法则

两边夹法则

  1. 数列的极限存在法则

定理1(两边夹法则: 如果数列 { x n } \{x_{n}\} {xn} { y n } \{y_{n}\} {yn} { z n } \{z_{n}\} {zn} 满足下列条件:
(1)存在正整数 N N N , 当 n > N n>N n>N 时,有 y n ≤ x n ≤ z n y_{n}\leq x_{n} \leq z_{n} ynxnzn ;
(2) lim ⁡ n → ∞ y n = a \lim_{n \rightarrow \infty}y_{n}=a limnyn=a, lim ⁡ n → ∞ z n = a \lim_{n \rightarrow \infty}z_{n}=a limnzn=a,
则数列 { x n } \{x_{n}\} {xn} 的极限存在,且 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=a limnxn=a.

上述的数列的极限存在法则可以推广到函数的极限存在法则.

  1. 函数的极限存在法则

定理2: 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) h ( x ) h(x) h(x) 满足下列条件:
(1)当 x ∈ U ˚ ( x 0 ) x\in\mathring {U} (x_{0}) xU˚(x0) 时, 有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\leq f(x) \leq h(x) g(x)f(x)h(x) ;
(2) lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = A \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=A limxx0g(x)=A, lim ⁡ x → x 0 h ( x ) = A \lim_{x \rightarrow x_{0}}h(x)=A limxx0h(x)=A,
则当 x → x 0 x \rightarrow x_{0} xx0 时, f ( x ) f(x) f(x) 的极限存在,且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A limxx0f(x)=A.

注: 定理2 对 x → ∞ x \rightarrow \infty x 时同样成立,只需要将条件做适当修改即可.


单调有界原理

  1. 单调有界定理

定理3:单调有界数列必有极限.

注:此定理可改写为:若数列单调递增且有上界(或单调递减且有下界),则此数列必有极限.


两个重要极限

lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 limx0xsinx=1

  1. 重要极限Ⅰ
    lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \begin{align} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\nonumber \end{align} x0limxsinx=1

注:① 重要极限Ⅰ中的自变量 x x x 可以用其他字母如 u , t u,t u,t 等代替.
       ~~~~~~        ② 由复合函数的极限运算法则,将重要极限Ⅰ中的 x x x 换成某个函数 f ( x ) f(x) f(x) ,只要在某个变化过程中 f ( x ) → 0 f(x) \rightarrow 0 f(x)0,则上述式子仍成立.

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e limx(1+x1)x=e

  1. 重要极限Ⅱ
    lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\nonumber \end{align} xlim(1+x1)x=e

注:① 重要极限Ⅱ中的函数 ( 1 + 1 x ) x (1+\frac{1}{x})^{x} (1+x1)x 称为幂指函数,就是指数和底数上都含有自变量的函数,形如 u ( x ) v ( x ) u(x)^{v(x)} u(x)v(x) 的函数.
       ~~~~~~        ② 重要极限Ⅱ中的自变量 x x x 可以用其他字母如 u , t u,t u,t 等代替.
       ~~~~~~        ③ 由复合函数的极限运算法则,将重要极限Ⅱ中的 x x x 换成某个函数 f ( x ) f(x) f(x) ,只要在某个变化过程中 f ( x ) → 0 f(x) \rightarrow 0 f(x)0,则上述式子仍成立.


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