1.6 极限存在法则与两个重要极限

作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

极限存在法则

两边夹法则

1. 数列的极限存在法则

定理1（两边夹法则）： 如果数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 及 $\{z_n\}$ 满足下列条件：
（1）存在正整数 $N$ , 当 $n>N$ 时，有 $y_n\le x_n\le z_n$ ;
（2）${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$, ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$,
则数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$.

上述的数列的极限存在法则可以推广到函数的极限存在法则.

2. 函数的极限存在法则

定理2： 如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 及 $h(x)$ 满足下列条件：
（1）当 $x\in \mathring{U}(x_0)$ 时, 有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ ;
（2）${\lim }_{x\to x_0}g(x)=A$, ${\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$,
则当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的极限存在，且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$.

注： 定理2 对 $x\to \infty$ 时同样成立，只需要将条件做适当修改即可.

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单调有界原理

1. 单调有界定理

定理3：单调有界数列必有极限.

注：此定理可改写为：若数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则此数列必有极限.

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两个重要极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$

1. 重要极限Ⅰ
   $$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1\end{array}$$

注：① 重要极限Ⅰ中的自变量 $x$ 可以用其他字母如 $u,t$ 等代替.
       ~~~~~~        ② 由复合函数的极限运算法则，将重要极限Ⅰ中的 $x$ 换成某个函数 $f(x)$ ，只要在某个变化过程中 $f(x)\to 0$，则上述式子仍成立.

${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

2. 重要极限Ⅱ
   $$\begin{array}{r}\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e\end{array}$$

注：① 重要极限Ⅱ中的函数 $(1+\frac{1}{x}{)}^x$ 称为幂指函数，就是指数和底数上都含有自变量的函数，形如 $u(x{)}^{v(x)}$ 的函数.
       ~~~~~~        ② 重要极限Ⅱ中的自变量 $x$ 可以用其他字母如 $u,t$ 等代替.
       ~~~~~~        ③ 由复合函数的极限运算法则，将重要极限Ⅱ中的 $x$ 换成某个函数 $f(x)$ ，只要在某个变化过程中 $f(x)\to 0$，则上述式子仍成立.

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