P3389 【模板】高斯消元法

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原题链接

P3389
AC记录：Accepted

题目大意

给定一个线性方程组，对其求解。

$\text{Example Explain}$
样例所示的方程组为：
$$\{\begin{array}{ll}x+3y+4z=5& (1)\\ x+4y+7z=3& (2)\\ 9x+3y+2z=2& (3)\end{array}$$

解题思路

高斯消元法的基本解题思路就是把其中的一个未知数先 系数化为一，然后再用这个未知数 消掉其他方程内的这个未知数，最后得出结果。

没看懂？用样例来解释一下。

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首先把 $x$ 系数化为一，$(1)$ 方程已经做到了。

然后用 $(2)-(1)$，把 $(2)$ 中的 $x$ 消掉，再用 $(3)-9\times (1)$，把 $(3)$ 中的 $x$ 消掉，最后方程式变成：
$$\{\begin{array}{ll}x+3y+4z=5& (1)\\ y+3z=-2& (2)\\ -24y-34z=-43& (3)\end{array}$$

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然后再把 $y$ 系数化为一，此时就不能用到上面的 $(1)$ 了，因为会导致 $x$ 的出现。而这个工作也已经完成了。

然后用 $(1)-3\times (2),(3)-(-24)\times (2)$ 得到：
$$\{\begin{array}{ll}x-5z=11& (1)\\ y+3z=-2& (2)\\ 38z=-91& (3)\end{array}$$

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最后，就是解最后一个 $z$ 了。首先，系数化为一，$(3)$ 变为 $z=-\frac{91}{38}$，然后再把其他两个方程中的 $z$ 去掉，变为：
$$\{\begin{array}{ll}x=-\frac{37}{38}& (1)\\ y=\frac{197}{38}& (2)\\ z=-\frac{91}{38}& (3)\end{array}$$

保留两位小数后就是：
$$\{\begin{array}{ll}x=-0.97& (1)\\ y=5.18& (2)\\ z=-2.39& (3)\end{array}$$

和样例一样。

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随后，就可以把这个推出有 $n$ 个方程的结果。

而有多数解只有一种可能，就是该方程中没有此未知数，即未知数为 $0$。

上代码

#include

#define endl '\n'

using namespace std;

double  a[110][110];
int     n;

void print2DMatrix()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n+1; j++)
            printf("%0.2lf ",a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
    return;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    /* Code */
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n+1; j++)
            cin>>a[i][j];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int maxpos=i;
        for(int j=i+1; j<=n; j++)
            if(a[j][i]>a[maxpos][i])
                maxpos=j;
        for(int j=1; j<=n+1; j++)
            swap(a[i][j],a[maxpos][j]);
        // print2DMatrix();
        double temp=a[i][i];
        if(temp==0)
        {
            cout<<"No Solution"<<endl;
            return 0;
        }
        for(int j=1; j<=n+1; j++)
            a[i][j]/=temp;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(j==i)
                continue;
            temp=a[j][i];
            for(int k=1; k<=n+1; k++)
                a[j][k]-=temp*a[i][k];
        }
        // print2DMatrix();
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        printf("%0.2lf\n",a[i][n+1]);
    return 0;
}