C++---树形DP---树的中心（每日一道算法2023.7.19）

注意事项：
本题为"树形DP—树的最长路径"的近似题，同时涉及到 单链表模拟邻接表存储图 的操作，建议先理解那篇文章。

题目：
给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。
请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。

输出格式
输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。

数据范围
1≤n≤10000,1≤ai,bi≤n,1≤ci≤105

输入:
5 
2 1 1 
3 2 1 
4 3 1 
5 1 1

输出：
2

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 10010, M = N*2, INF = 0x3f3f3f3f;   //无向边，M开点数的两倍
int n;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx = 0;       //邻接表链表模拟
int d1[N], d2[N], p1[N], up[N];       //d1[i]为点i向下的最长路径的长度，d2[i]为次长路径的长度，p1[i]为点i的最长路径的下一个点是谁，u[i]为点i向上的最长路径的长度

//经典的邻接表-链表模拟 存储图/树
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

//向下找最长路径和次长路径，用子节点信息更新父节点，并返回最长路径的长度
int dfs_down(int u, int father) {
    //遍历所有点，找到从u点向下走的最长路径和次长路径
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (j == father) continue;               //向下找，所以不能向父节点找路

        int d = dfs_down(j, u) + w[i];    //求出从u点向j点走，再向其他点走的最长路径的长度

        //判断当前的这条路径是否能替换最长路径或者次长路径，并更新p1数组进行记录最长路径的下一个点
        if (d >= d1[u]) {
            d2[u] = d1[u], d1[u] = d;
            p1[u] = j;
        }
        else if (d > d2[u]) {
            d2[u] = d;
        }
    }
    return d1[u];
}

//还是向下遍历树，但这次是用当前点u来更新点j的状态，也就是父节点信息更新子节点
void dfs_up(int u, int father) {
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (j == father) continue;

        //如果点u的最长路径的下一个点(p1[u])是点j，那么就不能选最长路径来更新
        if (p1[u] == j) up[j] = max(up[u], d2[u]) + w[i];
        else up[j] = max(up[u], d1[u]) + w[i];

        dfs_up(j, u);
    }
}

int main() {
    //读入
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);   //所有链表初始都指向-1
    for (int i = 0; i<n-1; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);    //无向边，那就a->b,b->a双向边即可
    }

    dfs_down(1, -1);
    dfs_up(1, -1);

    //枚举所有点的向上和向下的情况，求出最短距离
    int res = INF;
    for (int i = 1; i<=n; i++) {
        res = min(res, max(d1[i], up[i]));
    }
    cout << res;
}

思路：
这个题和"树的最长路径"很相似，“树的最长路径”是只要求出 点向下的最长和次长路径的长度相加即可，
而这道题多了一种向上找路径的可能，那么不妨举个例子，还是和上题一样，将整个树“拎起来”，类似拓扑结构：

接下来以p1代表点一，p2代表点2
假设现在遍历到了p2，那如何求出p2到所有点的最长路径的长度？

条件1. 从当前节点往下，直到子树中某个叶节点的最长路径。
将p2能到的每条路(除了父节点p1)都dfs一遍即可。

条件2. 从当前节点往上走到其父节点，再从其父节点出发且不回到该节点的最长路径。
还是从上往下遍历，但这次是用p1来更新p2，首先判断p1的向下最长路径是否经过p2，
1.如果未经过p2，那么就可以直接更新p2的向上最长路径，也就是p1到p2的距离+p1的最长向下路径的长度，
2.如果经过p2，那么就说明p1的向下最长路径经过p2，也就不能使用最长路径了，这也就是为什么需要求出次长路径的原因，接着更新p2的向上最长路径，也就是p1到p2的距离+p1的次长向下路径的长度。

对所有的点进行上述两个条件的计算，再取max即为这个点到所有点的最长距离，
再将每个点的这个结果取min，即为树中某节点到其他所有节点最远距离最近的答案。

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声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流