lucas定理 学习笔记

lucas定理 学习笔记

介绍

lucas定理用于解决形如 $C_n^m\mathrm{mod}p(p\in prime)$ 的问题。

设 $n,m$ 用 $p$ 进制来表示为：$(n_a{n}_{a-1}\cdots n_0{)}_p,(m_a{m}_{a-1}\cdots m_0{)}_p$

则：
$$C_n^m=C_{n_a}^{m_a}\ast C_{n_{a-1}}^{m_{a-1}}\cdots C_{n_0}^{n_0}$$
例如下面这道题 oj

combination

题目描述

LMZ有n个不同的基友，他每天晚上要选m个一起玩，而且要求每天晚上的选择都不一样。那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢？当然，LMZ的一年有10007天，所以他想知道答案mod 10007的值。(1<=m<=n<=200,000,000)

输入格式

第一行一个整数t，表示有t组数据。(t<=200) 接下来t行每行两个整数n, m，如题意。

输出格式

T行，每行一个数，为C(n, m) mod 10007的答案。

样例

输入样例1

4
5 1
5 2
7 3
4 2

输出样例2

5
10
35
6

分析

显然，答案就是：$C_n^m\mathrm{mod}10007$

但是我们的 $fac[],inv[]$ 开不了200,000,000，

所以我们就可以用 lucas 定理减小空间

code

#include 
#define LL long long
#define fu(x , y , z) for (int x = y ; x <= z ; x ++)
#define fd(x , y , z) for (int x = y ; x >= z ; x --)
using namespace std;
const int mod = 10007;
LL fac[mod + 5] , inv[mod + 5] , n , m;
LL ksm (LL x , LL y) {
    if(!y)
        return 1;
    long long z = ksm (x , y / 2);
    z = z * z % mod;
    if (y & 1)
        z = z * x % mod;
    return z; 
}
void pre () {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= mod - 1 ; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[mod - 1] = ksm (fac[mod - 1] , mod - 2);
    for (int i = mod - 2 ; i >= 0 ; i --)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
LL C (LL x , LL y) {
    if (x < y) return 0;
    if (!y || x == y) return 1;
    return fac[x] * inv[y] % mod * inv[x - y] % mod;
}
LL lucas (LL x , LL y) {
    if (x < y) return 0;
    if (!y) return 1;
    if (x < mod && y < mod) return C (x , y);
    return lucas (x / mod , y / mod) * C (x % mod , y % mod) % mod;
}
int main () {
    pre ();
    int T;
    scanf ("%d" , &T);
    while (T --) {
        scanf ("%lld%lld" , &n , &m);
        printf ("%lld\n" , lucas (n , m));
    }
}

扩展lucas

未完待续