normal + lognormal

1. matlab命令

正态分布
[$\mu ,\sigma ]=normfit(x)$ %数据x来拟合正态分布，get分布参数
[$\mu ,\sigma$,$,muCI,sigmaCI]=normfit(x,\alpha )]$ %$\alpha$分位点，默认0.5
$p=normcdf(x,\mu ,\sigma )$ %CDF得到$p\in [0,1]$

对数正态分布
$r=lognrnd(mu,sigma,sz1,...,szN)$ %generate随机数
$pHat=lognfit(x)$ % $pHat(1)$ 是参数$\mu$, pHat(2)是参数$\sigma$
$[pHat,pCI]=lognfit(x)$ %数据x，代表横坐标范围
$[pHat,pCI]=lognfit(x,\alpha )$

$\text{对数正态分布}$
两个parameters：$\mu ,\sigma ;$ 也称为 logrithmic的mean, std
均值与方差：m, v

联系：
$m=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$
$v=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$
附录：
(如果已知均值与方差之 m, v，可反推parameters $\mu ,\sigma$ )
$\mu =\ln \frac{m^2}{\sqrt{v+m^2}}$
$\sigma =\sqrt{\ln \frac{v}{m^2}+1}$

3. 计算
   Assume r.v X~N($\mu ,{\sigma }^2$)，可得到CDF中点$(x_{已知}‘={\mu }_{正态分布}‘,0.5)$，纵坐标代表分位点；
   如果希望再假设X~logN
   则assumer.v X~logN($\mu ,\sigma$)，%parameters
   3.1
   为了s.t.同一组数据，两种不同分布拟合的0.5分位点重合，有：
   $p(X_{logN}\le x_{已知})=0.5$
   $\Phi (\frac{\ln (x_{已知})-{\mu }_{logN}}{\sigma })=0.5$ %此时ln(x)~Normal dist
   再结合正态分布拟合时测量点之CDF中点$(x_{已知},0.5)$

查表，空号内$=0$，即 $\ln (x_{已知})-{\mu }_{logN}=0$，得到待求参数${\mu }_{logN}=\ln (x_{已知})$

3.2
标准差之$sigma$=定义初始值，再改变即可