《电路（邱关源）》第五版重难点记录（长期更新）

大二上的学习即将告一段落，还是想写点东西来回顾一下。电气专业课考研有5成是《电路》，为了以后考研时尽快回忆起来，在这里整理了《电路》这本书的重难点。由于学校的教学比较简单，这里整理的知识点不会涵盖所有知识点（作者还没补完石群的课，比如说黑盒问题，互易定理，特勒根定理），敬请谅解。

第一章 电路模型和电路定律（联系电机学）

核心其实就是KCL和KVL，下面给出完整的定义，复试可能会让你解释完整概念
基尔霍夫电流定律（KCL）：在集总电路中，任何时刻，对任一结点，所有流出结点的支路电流的代数和恒等于零。说通俗点：对某一结点，流进的电流等于流出的电流。** 常用表达：等式左边是流进的电流，右边是流出的电流
基尔霍夫电压定律（KVL）：在集总电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和等于零。 说通俗点：绕一圈，电压升降和为零。常用表达：无论是受控源还是独立源从负到正都为+号，遇到电阻如果绕行方向和电流方向相同就为-号，通常都写在等式的左边。
e.g. 如下图，列写KVL方程

从R2开始顺时针绕一圈，-I2R2+I3R3-I4R4-Us4+I1R1+Us1=0
如果KVL不熟练必须要多练，后面每章都要用到。

电流和电路方向的表示（重点，很容易混淆）（摘自石群课件）
电流：

电压：

功率：也很搞脑子，可以就记住一个电压和电流为关联参考方向是p>0，元件吸收功率，其他三种情况现推。简单的期末考试题要求的话记得把各个元件吸收的功率加起来看是不是等于0.

这里补充一点关于U和E的区别，在电机学这门书里体现的非常明显，问题如下：

请标出电压源的正号和负号，详细可见《电机学》汤蕴璆P41页
其实那张图要硬理解也是可以的，就拿空载运行的状态往后推就可以了，但是有些人就是不列出KVL就难受呀，缺个正负号即心里不踏实（比如作者），这里讲一下怎么理解：
u其实就是一个电阻对应的电压，这个方向其实就是电流对应的电压，所以方向为上+下-，而e1是个电源，电源内部电流从-到+，所以方向是上-下+

第二章 电阻电路的等效变换

首先，最重要的是等效的概念，一定是对外等效！！！对外等效！！！对网络外部而言！！！

2-4 电阻的Y型联结和△形联结的等效变换

Y型又称星形，△型又称三角形
适用范围：很广，常见的是处理电桥平衡问题和三相电路的电阻等效问题。要明确一个概念：与星形联结相比，三角形联结在外面（可以想象下），所以三角形变化成星形时若三个电阻相同，变换后的电阻要乘以1/3.
常规的变换公式（三角变星型我还不会背）左边是星变三角，右边是三角变星，感觉记反了就用1/3的结论代一下。

2-5 电压源、电流源的串联和并联

电压源的串联：简单加减，当成串联时的电阻
电流源的并联：简单加减，当成并联时的电阻
电压源的并联：只有激励电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL，其等效为其中任一电压源。
电流源的串联：只有激励电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL，其等效为其中任一电流源。
两种情况


不要忘记等效的概念，如果是填空选择要分析一个值，那可以方便分析，可以直接套用公式，但如果就是一个简单的串联回路既有电流源又有电阻，用KVL分析，不要把这个电阻划掉。
这里还会遇到两个比较难理解的概念（求开路电压Uoc，求等效电阻Req时都要用到）：
短路：有电流无电压
断路：有电压无电流

2-6 实际电源的两种模型及其等效变换

重点：方向变换后不要搞反，同时电流变电压要乘电阻，电压变电流要除电阻不要忘。当遇到正弦稳态电路中的电流源，常用的思路是把电流源变换成电压源，因为那样符合常规认知。
方法：

目标：最后有尽可能少的网孔，列尽可能少的方程。

2-7 输入电阻

戴维宁定理，yyds！解最大传输功率问题，三要素求一阶电路肯定会遇到。
原则：先除源：电流源断路，电压源短路，没受控源直接求（除源后从开路端看进去），有受控源用外加电源法法做：电压源上正下负为Us，正极流出Is，Us/Is即为Req。（下图为示意图，懂意思就行）

技巧：大题大做，小题小做，在小题分析时即使有受控源也可以不用外加电源法求Req，而是用串联并联的性质来做，很方便；大题有时也能等效，但要注意方向。以课后习题1-9的4道题为例,求ab端口的Req

（a）图，20Ω电阻流过的电流为U/20，而电流源流过的电流为U/5,那么电流源等效的电阻为20Ω/4=5Ω，Req=5//20=4Ω；
（b）图，20Ω电阻流过的电流为I，电流源流过的电流为2I，那么电流源等效的电阻为20Ω/2=10Ω，Req=10//20=20/3Ω；
（c）图，先看电压源的方向，为非关联，负号别忘记，电压源两端电压为-5I，而10Ω电阻的两端电压为10I，Req=-5Ω+10Ω=5Ω；
（d）图，先看电压源的方向，为关联，不用加负号，电压源两端电压为10U1，而20Ω电阻两端电压为U1，Req=20+20*10=220Ω。
这两章是最基础的部分，常常会作为简单的大题或者复杂大题的第一问/第一步，时刻牢记正负号不要搞反，多算几次，要仔细。后续章节会把重点放在电路的分析方法，不同方法的选择，带来的计算量是完全不一样的。

第三章 电阻电路的一般分析

结论：n个结点 n-1个树枝 写n-1个KCL方程
b个回路 有b-（n-1）连枝 写b-（n-1）个KVL方程

3-3 支路电流法

具体步骤：

如果回路只有两个口字的电路，可以使用这个方法解，但当回路一多，这种方法的计算量会非常大，不建议采用。我们通常采取的是下面两种方法：

3-4 网孔电流法

网孔电流法可以说是对我来说最思路清晰的一种分析方法：通俗来说：几个网孔：列写几个（一般是两个或三个，多了肯定有中间量没直接用），右边是电流×电阻的形式，自己的那个网孔，电流是In，电阻时绕一圈的阻值之和，自己的写完看和别人互相的，系数看方向，反方向就是-号，电阻写互阻，左边写完写右边，右边是电压升高的值。好算的列好带值直接算，不好算的用克莱姆法则：


二元有复杂的式子代就是了。
专业性的表达：

技巧：
1.避开独立电流源
原因：独立电流源上的电压未知，如果让其参与两次中间过程会大大增加计算量，可以把圈绕大使得某个网孔上的电流直接等于该独立电流源的值。

常规列写方程要增补i1-i2=2A这个方程
但我们可以试图绕开他

i1直接就等于2A了，但此时要注意互阻前的符号是+号，不是负号。
2.利用受控电流源
首先要清楚一个概念，一般来说两个未知数要两个方程，三个未知量要三个方程，当我们将回路选大时可能会造成一个后果（方程不够），我们不得不再列写一个方程，这时题目的繁琐性就和没换回路前一样了，所以如果遇到受控电流源，我们还是采取增补一个式子的方法，把受控量当成已知量来求。
e.g.

3-6 结点电压法

较为复杂的电路，有各种稀奇古怪的元件，要你求某一点的电位，或者某一条支路上流过的电流，推荐采用的方法是结点电压法。
优点：1.如果两点之间是用导线连接的，这两点间就等电势了，不用多写方程。同时，这也非常考察做题者的分析和观察水平，怎么合理选择零电势点来减少方程非常重要
2.互导前的符号恒为负号，列结点电压方程直接写就是了，不用像网孔电流法一样每次都要想符号是正还是负。
具体方法描述：

我们来道例题分析一下，题目就改成求Un1和Un2就行

怎样理解一个电压源和一个电阻串联后右边会多个式子？用电源的等效变换就行，变换成一个电流源和一个电阻并联就行。
第一个式子：（1/6+1/15+1/12+1/60）Un1-(1/12+1/60)Un2=30/6+1
第二个式子： -(1/12+1/60)Un1+(1/12+1/60+1/5)Un2=-1+50/5
解得Un1=30V,Un2=40V
如果遇到比较难算的，先看下是不是对算或少算了个电导，因为有分数存在容易出现比较怪的分数
如果有独立电压源，受控电压源，我们还是一样的处理方法：利用受控电压源，避开独立电压源（把他列成已知量）
看下如下例题，要求列出结点电压方程

首先选零电势点，这点很关键。是U2的正极还是负极？我们常常会不假思索得选在负极，因为地一般会标成0电势点，但一般你选择负极，你会发现无伴电压源上的电流位置，你要去设，同时增补一个方程Un2-Un1=1，显然这不是最合理的标定方法（算是肯定能算）。
下图（不太简便的标定方法，但没错）

如果我们选择+级为0电势点，那么方程一下子就简化了，唯一要注意的是u2前有个符号，因为选了他的正级是零电势点。
下图（最恰当的标定方法）

那我们开始列结点电压方程
对结点1，Un1=1V
对结点2，-Un1+(1/0.5+1/1+1/1)Un2-Un3=3+3u2
对结点3，u2=-Un3
对结点3，-2Un1-Un2+(1/1+1/0.2+1/0.5+1/1)Un3=-2/1-3
第三章总结：从第三章开始，我们发现电路数学的计算量增加了很多，也就是从这章开始，题目技巧性会越来越大，这就考验我们是不是熟悉某种特定的题型，有没有耐心去分析非常复杂的电路，而不是看到一个电路就直接列方程。

第四章 电路定理

4-1 叠加定理

这里先不讲相关的黑盒问题（还没补完课 ），主要是讲相关大题的解题思路和思考方向。
叠加定理：在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
注意事项：
1.叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路（e.g. 含二极管电路属于非线性电路，电容电感属于线性元件：联想复频域，写成*j时可以直接用欧姆定律）
2.叠加定理只能叠加电流和电压，不能叠加功率，因为P=UI，实为电源的二次函数
3.叠加定理当只计算一个电源时其他电源要处理：电压源短路，电流源断路
4.叠加定理处理电路时不能动受控源，单独计算时都应保留着受控源。
5.叠加定理实际处理时不需要严格按照“1+1+1+……”，可以“1+2+3”，也可以“1+n-1”，看个人喜好，对计算越简便越向哪种方向靠。
6.叠加定理叠加的过程中有正有负，为了列式更清晰可以标出i1，i2，……u1，u2，这样既可以拿到步骤分，还能在一定程度上缓解焦虑。
例：求电压u和电流i

受控源不动，电流源断路，保留5A上正下负的电流源，先用KCL求出中间一条支路上的电流，左边一个回路列写KVL可以算出相关参数
电流源电路，仅有左边一个回路，列写KVL即可，这里有一点要留意，等效电路图如下

u（1）=0吗？断路只是电流为0，但电压≠0！对右边的“空”回路列写KVl即可算出u（1）真正的值。
（替代定理见单独博文）

https://blog.csdn.net/modestfromhell/article/details/122441170?spm=1001.2014.3001.5501

4-3 戴维宁定理和诺顿定理

《电路》中的灵魂定理，真神，一般的考试大题后几题都能用到（通常在倒数第二步），必须掌握这个定理。一般来说都是用戴维宁（有些教材也叫戴维南），短路电流Isc一般时候用不上，但有时候可能会出现Req难求，用Uoc/Isc求出Req的情况。
注意：
1.求Req的时候如果有受控源，需要用外加电源法处理时，外加电源的方向和标记一定要写清楚，一般是写Us和Is，如果是交流电路Us和Is上的点不要忘记，如下图所示
2.除源一定要记得把电压源短路，电流源开路，不要忘了处理，不然这个等效电阻怎么算也算不出

戴维南定理描述：任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压Uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）
简要来说，你要分析一个复杂的电路，左边的线性含源一端口网络很难看，可以用戴维宁定理把他简化成一个电压源+一个电阻的组合，而整个电路的其他特性都不变。如下图所示

应用举例
1.电桥问题

讨论Rx分别为1.2Ω、5.2Ω时的电流I
如果不用戴维宁定理，电桥平衡讨论还是比较复杂的。
采取戴维宁定理能直接简化电路，讨论？不需要，直接代入Rx的值即可处理
先求开路电压Uoc，即可把Rx断路，Rx上端标为+，下端标为-，U+减去U-
即为Uoc，上面降低了4V，U+为6V，同理U-等于4V，则Uoc=2V
再求Req，两个并联的支路通过最下面的导线串联在一起，Req=2*4//6=4.8Ω，通过戴维宁等效后的电路如下图所示

最后算出的答案如下所示

2.含有受控源的电路分析

求出Uo
分析，为什么要用戴维宁定理等效?因为左边一块的电路非常复杂（相对），由此想到可以用戴维宁定理直接把外侧等效（通俗得讲，直接把除3Ω的电路换成大小为Uoc，方向上正下负的电压源和一个大小为Req的电阻的组合），求Uo直接分压就行了。
先求Uoc，把3Ω的电阻断路，求Uoc，方向上正下负，左边一个口字型的回路为一个完整KVL回路，I是1A，大的回路列个KVL，-6+6-Uoc+9=0，Uoc=9V
再求Req，注意先把9V的电压源短路，然后用外加电源法处理

求出Req=6Ω，则Uo=3V

4-4 最大功率传输定理

实际上还是考察戴维宁定理，求出Uoc，求出Req，当且仅当RL=Req是Pmax=UocUoc/4Req
具体结论

第四章常见的电路定理就写到这了，后续这章里的其他定理会单开一篇来记录，结论很多，建议通过做题来巩固，一般的题可能会有明确的指向性（试用戴维宁定理求Ux或者Ix），但如果没有这种暗示呢？我们应该自己有一套审题的标准，不经过题目的暗示也能选出最适合这道题的解法。

第六章 储能元件

这章是对高中物理学到的电感、电容进行规范化，主要是记忆公式。

6-1 电容元件

1.元件的电路符号

2.单位： 1F=1000000uF 1uF=1000000pF
3.电压电流关系（最重要）：（默认u与i为关联方向）

注意：1.电容为动态元件，i的大小取决于电容电压u的变化率而非某时刻u的大小
2.u为常数时，△u=0，此时i=0，电容处于断路状态（断路无电流有电压，这里可以联想电感元件是怎样的性质了）

6-2 电感元件

1.元件的电路符号

2.单位： 1H=1000 1mH=1000uH
3.电压电流关系（最重要）：（默认u与i为关联方向）

注意：1.电感为动态元件，u的大小取决于电感电流i的变化率而非某时刻i的大小
2.i为常数时，△i=0，此时u=0，电容处于短路状态（短路无电压有电流）

6-3 电容、电感元件的串联与并联

四种情况对照着来看
1.电容的串联

2.电容的并联

3.电感的串联

4.电感的并联

总结：电感和电阻的串联、并联、分压、分流关系几乎相同，而电容与电阻的相关特性恰好相反。

第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析

注：学完第十四章，我们知道运用拉式变换法也可以处理一阶电路、二阶电路，但我们不能忘记这一章讲的三要素法，这两种方法都是处理时域电路的常用方法。

7-1 动态电路的方程及其初始条件

一阶电路：含有一个动态元件
二阶电路：含有两个动态元件
初始值的确定（即iL（0-）、Uc（0-）和iL（0+）、Uc（0+））
Step1.求iL（0-）或Uc（0-）：一定是开关还没动的状态！！！一定时还未换路时的值！！！把电感当成电流表，电容当成电压表，求出iL（0-）和Uc（0-）（具体看题目要求）
Step2.根据换路定律求出继承的iL（0+）或Uc（0-），即如果该动态元件是电感，则电流可继承，有iL（0+）=iL（0-）；如果该动态元件是电容，则电压可继承，有Uc（0+）=Uc（0-），具体如下图

Step3.替换，如果该动态元件是电感，将电感替换为大小为iL（0+）的电流源，转而求UL（0+）；如果该动态元件是电容，将电容替换为大小为Uc（0+）的电压源，转而求Ic（0+）。

7-4 一阶电路的全响应

因为一阶电路的全响应包括零响应和零输入的情况，所以这里一起写了。
首先引入时间常数τ，在RC电路中，τ=RC；在RL电路中，τ=GL（G是电导，大小为1/R）。
下面介绍详细的一阶电路的全响应计算方法
1.判断这个元件的性质：如果是电容，那么我们先求出的一定是Uc（t）；如果是电感，那么我们先求出的一定是iL（t）；
2.求出三要素，如果是电容，依据7-1的方法先求出Uc（0-）和Uc（0+）；同理如果是电感，依据7-1的方法先求出iL（0-）和iL（0+）
3.求零状态响应即f（∞），元件为电容只要求电压，元件为电感只要求电流
4.代入数据求出时间常数τ；
5.代入公式

如果是电容元件，代入Uc（0-），Uc（0+），τ=RC；
如果是电感元件，代入iL（0-），iL（0+），τ=GL；
注意τ的位置在分母，τ的位置在分母，τ的位置在分母
6.求出另外一个对应的量：如果是电容元件，4已求得Uc（t），运用公式i=cdu/dt求出i（t）；如果是电感元件，运用公式u=Ldi/dt求出u（t）
7.根据题目的要求提取相关的零状态响应/零输入响应or稳态解/暂态解
下面做出区分：
零状态响应和零输入响应：先把4中全响应的式子写出来，不要化简，把括号也留着，含有f（∞）的即为零状态响应，而含有f（0）的即为零输入响应
稳态解和暂态解：一共三块式子，含有t的即为暂态解，不含t的即为稳态解
例1：

求iL（t）
按步骤来，电感对应电流，开关闭合前iL（0+）=iL（0-）=2A；开关闭合后iL（∞）=（4+2）A=6A（叠加定理），等效电导等于1/2.5Ω=0.4s
τ=0.40.5=0.2
代入公式得

例2：

已知：t=0时开关有1转向2，求换路后的Uc（t）
分析，存在受控源，所以求等效电阻时要用外加电源法处理
先求Uc（0+），列写KVL，Uc（0+）=Uc（0-）=-8V，接下来算Uc（∞），如下图

算的Uc（∞）=12V，而等效电阻

4Ω的电阻两端电压为4i1，方向上正下负，那么电压为2i1的受控电压源可以等效为一个2欧姆的电阻，所以Req=（4+4+2）Ω=10Ω
代入公式，得到Uc（t）=12+（-20）e^（-t/(100.1）)，即

第八章 相量法

（先要知道电路里的相量法不是向量法，方便记忆就想正弦稳态电路要看相位关系）

8-1 复数

详细可见《复变函数与积分变换》，电路里最多用到的就是极坐标式
多注意下复数用极坐标式计算时的乘除

8-2 正弦量

正弦量的三要素：1）振幅，最大值（×过√2了）;2）角频率w，相关公式w=2πf=2π/T;3)初相位φ，一般认为φ的绝对值＜=π
同频率正弦量的相位差

一定要同频率才能比较！ 一定要同频率才能比较！ 一定要同频率才能比较！
有效值和最大值的关系，最大值为有效值的√2倍
应用说明：

8-3 相量法的基础

正弦量的相量表示

注意点：

8-4 电路定律的相量形式

应用相量图法解题：告诉电压表、电流表的值，让你求其他电压表，电流表的值（而没让你具体去求他的相位角）
例1.

首先分析三个电流表并联，电压一样，所以我们选电压为基相量
下图

XL=wL，Xc=1/wc，频率提高一半后电容的阻抗变为原来的1/2，电感的阻抗变为原来的两倍，而电压又不变，所以电流分别变为原来的2倍和原来的1/2,画图还算得出电流表A的示数为25A
例2，如图

直接看（b）图的，串联电路电流一样，我们选电流为基相量
做相量图如下

解得Us为25V

第九章 正弦稳态电路的分析

核心：从电阻到阻抗，写电压和电阻要带上点，阻抗用Z表示，实部为电阻R，虚部为电抗X，计算阻抗要考虑频率w，其他所有分析方法照搬直流电路中学到的。

9-1 阻抗和导纳

1.计算方法：

记住阻抗角是电压领先电阻的角度，到功率那还会遇到。

9-3 正弦稳态电路的分析

基本步骤如下

第十章 含有耦合电感的电路

10-1 互感

重要概念：
1.耦合系数

k=1时称为全耦合，L1，L2为自感系数，M为互感系数，耦合系数k与线圈的结构，相互几何位置，空间磁介质有关
相关习题（写电压电流关系式）（强烈推荐石群网课）

以下面两个图为例子进行分析，u1=u11+u12，u11怎么分析？
如果u1和i1是关联方向就是正号，反之就为负号，在图3中u11=L1di1/dt
u12怎么分析？不用去看电压，u12是2对1产生的，所以L2的号端为+号，对应到L1中同名端感应出的为上+下-，用KVL检验下得M前面系数为正号，故u12=Mdi/dt,u1=L1di1/dt+Mdi2/dt
对于u2，首先u2和i2为非关联方向，故L2前面系数为负号，i1感应到L1的端为正号，那么感应到L2下端的号为+号，用KVL验证发现电压下降了两次，故u2=-Mdi1/dt±L2di2/dt
同理分析图4，先分析u1
u1和i1为非关联方向，L1前系数为-号，电流感应号为-号，感应到L2下端为-号，用KVL验证可知M前系数为-号，因此u1=-L1di1/dt-Mdi2/dt
再分析u2，u2和i2为非关联方向，故L2前面系数为负号，i1感应到L1的端为﹣号，那么感应到L2下端也为-号，列写KVL可知电压升高了两次，故u2=-Mdi1/dt±L2*di2/dt

10-2 含有耦合电感的计算

关键是要记住去耦等效的方法

10-4 变压器原理

1.三个理想化条件

2.主要性能（电压，电流，电阻）
电压：

此时的电压关系为u1/u2=N1/N2=n
变一次正负多一个负号，如下图同名端变了，但u2的上正下负没变，所以只有一个负号

电流：
同时出带负号，一进一出是正号

此时i1/i2=-1/n,若变为一个流入，一个流出，则i1/i2=1/n
电阻：

运用举例：

直接把RL=10Ω变换到原电路中（这里的思路类似于电机学中的知识），10xx=1000，解得x=10倍

第十二章 三相电路

12-1 三相电路

先下个一般的结论，电源通常是星型的，而负载要分为星型和三角形两种情况，如果导线上有内阻，通常会将三角形的负载先变化成星型的负载，怎么记忆公式？首先明确一个概念：三角形围在外面，星型连在里面，所以对于对称电路三角形是星型的三倍，从三角形变为星型要乘以1/3,那么1/3=xx/3x
即下面的公式

重要概念1.大小/相位关系

B比A落后120°，C比B落后120°，则C领先A的角度为120°
这是最基本的概念，以后每次画三相电路自己去想A，B，C的方向是不是正确的。然后将一个非常重要的概念）

12-2 线电压（电流）与相电压（电流）的关系

用通俗的语言表述一下：
（1）在判断之前一定要知道是对电源端还是对负载端
（2）相电压（流）一定是通过某一个电源或者对某一个负载
（3）线电压：一定是两个导线之间的电压
线电流：是经过导线的电流
判断4个量的关系一个要在同一侧（要么是电源测，要么在负载侧）
可以参考课代表考研中第十二章的习题详解
然后就是实际运用的结论：
1.对于星型联结，线电流=相电流，线电压=$\sqrt{3}$相电压
2.对于三角形联结，线电流＝$\sqrt{3}$相电流，线电压=相电压
现在觉得很简单的知识点到电机学里就不简单了，哈哈，先mark一下，讲到Yy连接，Yd连接就要无比小心了，不然那道大题会全错的

12-3 对称三相电路的计算

这里先讲下什么是对称电路，什么是非对称电路：当三相负载的阻抗完全相等时，称为三相对称负载；否则，称为不对称负载
看下三角形负载和星型负载的画法（其实只要知道就行了，计算肯定是画成三条直线那种形式的）

忘了怎么办？星型肯定能记住，因为星型就是Y型嘛，那么另外一种就是三角形了（其实大家都喜欢Y型，因为Y型最自然）下面是例题：

12-3-1 负载星型联结

问题来了：这个UA，UB，UC的方向由标注错吗？如果你看过我在最开始讲的U和E的区别，就会发现这里的UA方向没有标注错误，上+下-，以A相为例子，由IA绕行一周，经过Za电位下降，经过UA从-到+电位又上升，二者相加为零，所以Ia也能算了，结果如下：

好了问题又来了，哪个是线电流，哪个是相电流？记住相电流要通过负载或者负载，在上图中是IA还是IAN？显然是IAN，对应的线电流就是IA，所示说能用单字母是相，两个字母是线来记吗？显然不行，还是要理解。所以说在星型联结中相电流等于线电流。题目里一般是给个UAB或者UA，然后给个负载，后面自己去用一个推到三个就行。

12-3-2 负载三角型联结

顶级搞脑子的问题来了，真的推荐大家好好理解，不要只背板子的公式，会错的。基本电路如下：

还是第一个问题，那个电流是线电流，那个电流是相电流？根据之前讲的判断方法，很容易判断IA‘B’是相电流，而IA是线电流，他们的大小关系是怎样的呢？根据KCL，有IA=IA‘B’-IC‘A’，方向又是60°的关系，很容易推出线电流=$\sqrt{3}$相电流的关系
然后怎么计算呢，要么给你UAN，要么给你UAB。沿着N点，经过A点，A’点，到B’点，再到B点，最后到N点一圈，代入ZAB,UAB即可，一般考试都是380，然后能算出相电流，用结论就可以算出线电流，具体过程在下面：

又有问题来了，万一在IA这条线上有负载Za呢？通常来说，如果你不用星—三角变换是很容易搞错的，因为IA和IA’B’的相位不一样呀，再代入负载阻抗……这里推荐一个方法：用星三角变换，先算线电流（注意变换后ZAB要除以3），再用除的方法算出相电流，具体过程如下：

12-5 三相电路的功率

这里一定要学懂，电机学还会碰到的，通常电机学书里说的是“三相功率”
也就是总功率
具体公式如下：

第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数

详细可以看《高等数学下》《复变函数与积分变换》《信号与系统》

13-3 有效值、平均值和平均功率

又是经典的搞脑子问题，

13-3-1 非正弦周期函数的有效值

先看有效值

结论是非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论可推广用于其他非正弦周期量
概括来说，先算直流分量，再算交流分量

13-3-2 非正弦周期函数的平均值

平均值就是直流分量

13-3-3 非正弦周期交流电路的平均功率

结论：平均功率=直流分量的功率+各次谐波的功率

13-4 非正弦周期电流电路的计算

最重要的两个注意点：
（1）直流的时候电感是断路，电容是开路
（2）如果有不同频率的分量对应的Xc和Xl不同
例题：
先分析直流：电感是短路，所以没有1Ω电阻的事了
u0-3×5=0，u0=15 p=15×5=75W
再分析交流，w=0.5 XL=wl=0.5×2=1 Z总=3+j（1+1j）=3+j（1-1j）2=3+j（0.5-0.5j）=3+0.5j+0.5=3.5+0.5j
记住i写交流分量要写最大值哦，所以

这里其实P1漏乘了一个cos（8°），因为约等于1了，最后有效值相加，平均功率相加就行

第十四章 线性动态电路的复频域分析

后七章的灵魂内容来了，首先还是给大家强调一件事，用三要素法和用拉氏变换并不是互相冲突的，你完全可以在学第十四章时用第七章的题目练手，或者用完拉式变换求出答案后用三要素法验算，千万不要把思维定死。

14-1 拉普拉斯变换的定义

核心思想：把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解
象函数F(s)用大写字母表示，如I(s),U(s)
原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)
我们在电路书里常见的拉普拉斯正变换不是很多，以后更详细严密的讲解在信号与系统中学习，（以后Σt就叫ut了）常用的有一下几组

14-2 拉普拉斯变换的基本性质

这里不细说了，更详细的可以看奥本海姆版本的《信号与系统》P435页到P441页
电路里更多的就是记忆的内容，特殊的IL(0-)≠0且UC(0+)≠0
结论如下：
时域为$$u=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^t{i}_c\mathrm{d}t$$
频域为
$$U\left(s\right)=RI\left(s\right)+sLI\left(s\right)-L{i}_L\left(0^{-}\right)+\frac{I\left(s\right)}{sC}+\frac{u_c\left(0^{-}\right)}{s}$$
为啥是这样的式子呢？我们可以这样想，电阻的肯定不会变会吧，那就还是一个式子，电感和电容由于存在零时刻的值，所以可能是一个式子，也可能是两个式子
乘完和零时刻无关的是写在分子，所以是乘，后面跟着的符号由于电感和电压相悖，所以电感是-，而且减的那个式子和L有关，没有s
乘完和零时刻无关的是写在分母，所以是除，后面跟着的符号由于电容和电压想符，所以电容是+，而且加的那个式子和C无关，有s，且s在分母

14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

常规思路是用反变换的公式做，但是反变换太难求了，我们通常是用公式+变形来处理拉普拉斯反变换的（最终目的：从s域再变换到时域），在化简后我们通常会得到一个较为复杂的分式，而这种式子是很难直接转化的，需要运用部分分式展开法：在《高等数学》、《复变函数与积分变换》我们都学过这种处理方法，把复杂的分式（假分式）转化为单独的分式。学完复变函数，我们再回顾这章介绍的方法，其实就是留数法。

14-3-1 单根的处理方法

怎么理解呢，分母都是(s+a)(s+b)(s+c)，一个平方都没有，分子是常数或<=分母s的次数。
方法一：最傻的办法，但很实用，就设A，B，C，计算量有点大，以下题为例：
$$\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)\left(s+4\right)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+4}$$
做肯定是能做的，就是比较浪费时间
方法二：定义法：算谁的系数，先把谁的式子的乘掉，在把那个值带进去，例子如下：
$$A=\frac{1}{\left(s+3\right)\left(s+4\right)}{\mid }_{s=-2}^{}$$
$$B=\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{\mid }_{s=-3}^{}$$
$$C=\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)}{\mid }_{s=-4}^{}$$
方法三：留数法：不推荐，因为一般只有刚学完复变对那留数有印象，其他时候基本就忘了这个方法了，下面求导，依次带值即可，例子如下
$$A=\frac{1}{3s^2+18s+26}{\mid }_{s=-2}^{}$$
$$B=\frac{1}{3s^2+18s+26}{\mid }_{s=-3}^{}$$
$$C=\frac{1}{3s^2+18s+26}{\mid }_{s=-4}^{}$$
代入数字可以发现算出来的答案是一样的，但我还是比较推荐使用第二种

14-3-2 重根的处理方法

记住多依次要多求一次导数，回到时域要多乘一个t，要乘的那个式子不用变，例题如下：

自己想一想步骤，记忆方法就是刚还K22（最高次），就不用求导，直接乘完就带值；从最高次开始每次少一次求一次导数，系数也要变，如下所示：
$$K_{1q}=\frac{1}{\left(q-1\right)!}\frac{d^{q-1}}{d{s}^{q-1}}\left[{\left(s-p_1\right)}^{q}F\left(s\right)\right]{\mid }_{s=p_1}^{}$$

14-4 运算电路

前面已经给出了那个结论，这里再次强调一下：已知IL(0-)≠0且UC(0+)≠0
时域为$$u=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^t{i}_c\mathrm{d}t$$
频域为
$$U\left(s\right)=RI\left(s\right)+sLI\left(s\right)-L{i}_L\left(0^{-}\right)+\frac{I\left(s\right)}{sC}+\frac{u_c\left(0^{-}\right)}{s}$$

14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路

电路后几个单元中最精彩的部分来了，将数学变换与电路计算的完美融合。
其实核心思路和第七章是比较类似的：先算$$u_C\left(0^{-}\right)\text{和}{i}_L\left(0^{-}\right)$$
注意一定是开关没作用前，画出此时的电路，注意把电感短路，把电容断路（就是一个电路只有电流源，电压源，电阻），看电感上的电流和电容上的电压（把电感看成一个电流表串联在电路中，测此时的电流，把电压看成一个电压表并联在电路中，测此时的电压）
然后画出开关作用后的运算电路（一般电路会简化一些的，因为本身运算法会多一些参数）
重点处理的是电感和电容，方向怎么记忆：沿着电流的方向，电感一个从+到-，另外跟着的哪个源从-到+，具体如下所示：

沿着电流的方向，电容跟着的两个都是从+到-的，具体如下所示：

画完，然后列式子计算，有求谁，把它的s域表达式求出来（通常是比较麻烦的，请务必一定认真仔细计算），然后用反变换的公式把s域转到时域去
在很多时候会用到前面的回路电流法和节点电压法
下面是一道比较经典的例题，选自水木的课件

显然，电感和电容都有初值，电感相当于一个电流表，电容相当于一个电压表

可以非常容易地发现iL(0-)=5A,uC(0-)=50V