《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“超级骑士”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 超级骑士” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1810

题目描述

【题目描述】 现在在一个无限大的平面上，给你一个超级骑士。
   超级骑士有N种走法，请问这个超级骑士能否到达平面上的所有点。
   每种走法输入两个数字xx和yy，表示超级骑士可以从任意一点(x,y)走到(x+xx,y+yy)。
【输入格式】 输入第一行为正整数T，表示存在T组测试数据。（1≤T≤100）
   对于每组测试数据，第一行输入正整数N，表示有N种走法。（1≤N≤100）
   接下来N行，每行两个正整数xx和yy。（-100≤xx,yy≤100）。
【输出格式】 对于每组测试数据，如果可以到达平面上所有点，输出Yes，否则输出No。。
【输入样例】

2
3
1 0
0 1
-2 -1
5
3 4
-3 -6
2 -2
5 6
-1 4

【输出样例】

Yes
No

---

题解

  虽然题目问能不能到达所有的点，但其实不用真的检查是否能到所有的点。只要检查平面上的某个特定点，如果从它出发能到达它的上、下、左、右4个点，那么推广到任意一个点，它的上、下、左、右都能到达，整个平面就是可达的。
  题目给定-100≤xx, yy≤100，若定中心点(x, y)为(100, 100)，那么走一步最远可到(0, 0)、(0, 200)、(200, 0)、(200, 200)，检查以这4个点确定的区间内所有点。最后看是否能到达(x, y)的上、下、左、右4个点。
  本题是一个简单的遍历问题，用BFS或DFS都行，计算复杂度就是区间内点的数量，共200*200 = 40000个点，用BFS和DFS遍历一次即可。不过，DFS有栈空间的限制，本题的DFS需要用到很大的栈。为了保险，用BFS更好。
【重点】 注意DFS用到的栈大小。

C++代码

  下面是DFS代码，虽然简单，也有小技巧。从中心点(X, Y)出发开始遍历区间内的点，在任意时刻只要发现(X, Y)的上、下、左、右都已到达，可立即返回“Yes”，不用再遍历其他的点，这是剪枝的应用，代码第8行做这个判断。写DFS代码时，一定要注意是否能剪枝。

#include
using namespace std;
int n, xx[110], yy[110];
int X=100, Y=100;                   //中心点(X,Y)，从它出发
bool vis[210][210];
bool dfs(int x, int y){             //从(x,y)出发，把可以到达的点全部打上标记
    vis[x][y] = true;               //把当前点标记为已达
    if(vis[X-1][Y] && vis[X+1][Y] && vis[X][Y-1] && vis[X][Y+1]) return true; //有剪枝的作用
    for(int i = 1; i <= n; i++) {   //遍历n个方向
        int nx = x + xx[i];         //新坐标(nx, ny)
        int ny = y + yy[i];
        if(nx < 1 || nx > 200 || ny < 1 || ny > 200)  continue;  //判断越界
        if(vis[nx][ny])  continue;        //已经走过，不用再走
        if(dfs(nx, ny))  return true;
    }
    return false;
}
int main(){
    int T;    cin >> T;
    while(T--)    {
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; i++)     cin >> xx[i] >> yy[i];
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if(dfs(X, Y))   cout<<"Yes"<<endl;
        else            cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}

BFS代码：

#include
using namespace std;
int n,xx[110], yy[110];
int X=100,Y=100;                  //中心点(X,Y)，从它出发
bool vis[210][210];
bool bfs(int x,int y){             //从(x,y)出发，把可以到达的点全部打上标记
    vis[x][y] = true;              //把当前点标记为已达
    queue<pair<int,int>>q;
    q.push({x,y});
    while(q.size())    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        if(vis[X-1][Y] && vis[X+1][Y] && vis[X][Y-1] && vis[X][Y+1])  return true;
        for(int i=1;i<=n;i++)  {     //遍历n个方向
            int nx = t.first+xx[i], ny = t.second+yy[i];
            if(nx < 1 || nx > 200 || ny < 1 || ny > 200)  continue;  //判断越界
            if(vis[nx][ny])  continue;    //已经走过，不用再走
            vis[nx][ny] = true;
            q.push({nx,ny});
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    int T; cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;i++)      cin>>xx[i]>>yy[i];
        if(bfs(X,Y)) cout<<"Yes\n";
        else         cout<<"No\n";

    }
    return 0;
}

Java代码

DFS代码，但是出错了，栈溢出，需要扩栈。

import java.util.Scanner;
public class Main {
    static int n;
    static int[] xx = new int[110];
    static int[] yy = new int[110];
    static int X = 100, Y = 100; // 中心点(X,Y)，从它出发
    static boolean[][] vis = new boolean[210][210];

    public static boolean dfs(int x, int y) {
        vis[x][y] = true; // 把当前点标记为已达
        if (vis[X - 1][Y] && vis[X + 1][Y] && vis[X][Y - 1] && vis[X][Y + 1])
            return true; // 有剪枝的作用
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历n个方向
            int nx = x + xx[i]; // 新坐标(nx, ny)
            int ny = y + yy[i];
            if (nx < 1 || nx > 200 || ny < 1 || ny > 200)     continue; // 判断越界
            if (vis[nx][ny])  continue; // 已经走过，不用再走
            if (dfs(nx, ny))  return true;
        }
        return false;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int T = scanner.nextInt();
        while (T-- > 0) {
            n = scanner.nextInt();
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                xx[i] = scanner.nextInt();
                yy[i] = scanner.nextInt();
            }
            for (int i = 0; i < 210; i++)
                for (int j = 0; j < 210; j++)
                    vis[i][j] = false;

            if (dfs(X, Y))   System.out.println("Yes");
            else              System.out.println("No");
        }
    }
}

BFS代码：不用担心DFS的栈空间问题。所以为了保险，还是用BFS更好。

import java.util.*;
public class Main {
    static int n, X = 100, Y = 100;
    static int[] xx = new int[110], yy = new int[110];
    static boolean[][] vis = new boolean[210][210];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int T = sc.nextInt();
        while (T-- > 0) {
            n = sc.nextInt();
            for (int i = 0; i < 210; i++)
                for (int j = 0; j < 210; j++)
                    vis[i][j] = false;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                xx[i] = sc.nextInt();
                yy[i] = sc.nextInt();
            }
            if (bfs(X, Y))    System.out.println("Yes");
             else             System.out.println("No");            
        }
        sc.close();
    }
    static boolean bfs(int x, int y) {
        vis[x][y] = true;
        Queue<int[]> q = new LinkedList<>();
        q.offer(new int[]{x, y});
        while (!q.isEmpty()) {
            int[] t = q.poll();
            if (vis[X - 1][Y] && vis[X + 1][Y] && vis[X][Y - 1] && vis[X][Y + 1])  return true;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                int nx = t[0] + xx[i], ny = t[1] + yy[i];
                if (nx < 1 || nx > 200 || ny < 1 || ny > 200)     continue;              
                if (vis[nx][ny])               continue; 
                vis[nx][ny] = true;
                q.offer(new int[]{nx, ny});
            }
        }
        return false;
    }
}

Python代码

DFS代码，注意要用setrecursionlimit扩栈。

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
n = 0
xx,yy = [0] * 110, [0] * 110
X,Y = 100,100  # 中心点(X,Y)，从它出发
vis = [[False] * 210 for _ in range(210)]
def dfs(x, y):  # 从(x,y)出发，把可以到达的点全部打上标记
    global vis
    vis[x][y] = True  # 把当前点标记为已达
    if vis[X-1][Y] and vis[X+1][Y] and vis[X][Y-1] and vis[X][Y+1]: return True  #有剪枝的作用
    for i in range(1, n + 1):      # 遍历n个方向
        nx = x + xx[i]             # 新坐标(nx, ny)
        ny = y + yy[i]
        if nx < 1 or nx > 200 or ny < 1 or ny > 200:      continue  # 判断越界
        if vis[nx][ny]:            continue  # 已经走过，不用再走
        if dfs(nx, ny):            return True
    return False
T = int(input())
while T > 0:
    T -= 1
    n = int(input())
    for i in range(1, n + 1):   xx[i], yy[i] = map(int, input().split())
    vis = [[False] * 210 for _ in range(210)]
    if dfs(X, Y):  print("Yes")
    else:        print("No")

BFS代码：

from queue import Queue
n, X, Y = 0, 100, 100
xx, yy = [0]*110, [0]*110
vis = [[False]*210 for _ in range(210)] 
def bfs(x, y):
    vis[x][y] = True
    q = Queue()
    q.put((x, y))
    while not q.empty():
        t = q.get()
        if vis[X-1][Y] and vis[X+1][Y] and vis[X][Y-1] and vis[X][Y+1]:  return True
        for i in range(1, n+1):
            nx, ny = t[0]+xx[i], t[1]+yy[i]
            if nx < 1 or nx > 200 or ny < 1 or ny > 200 or vis[nx][ny]:  continue
            vis[nx][ny] = True
            q.put((nx, ny))
    return False 
T = int(input())
while T:
    T -= 1
    n = int(input())
    for i in range(1, n + 1):   xx[i], yy[i] = map(int, input().split())
    vis = [[False]*210 for _ in range(210)]
    if bfs(X, Y):    print('Yes')
    else:            print('No')