【洛谷】采药(01背包问题)

 

#include
using namespace std;
int dp[105][1005] = { 0 };
int times[105] = { 0 };
int val[105] = { 0 };

int main()
{
	int T, M;
	cin >> T >> M;
	for (int i = 1; i <= M; i++)
		cin >> times[i] >> val[i];
	for (int i = 1; i <= M; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= T; j++)
		{
			if (times[i] > j)
				dp[i][j]=dp[i - 1][j];
			//意为如果摘第 i 颗药草所需时间大于所剩时间，
			//那么就不摘，不摘的情况相当于下面公式中，逗号右边部分为0
			//故dp[i][j]取逗号左边
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - times[i]] + val[i]);
			//如果所剩时间足够摘这株药草，
			//那么分为摘和不摘两种情况(左边不摘，右边摘)，取其中价值大的一种
		}
	}
	cout << dp[M][T];
	return 0;
}

将二维数组优化为一维数组

在上面的过程中，我们发现dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][ j - times[i] ] + val[i]);

也就是第 i 行的数据只与第 i-1 行的数据有关，因此我们存储的 i-2 ，i-3 等都是无效的数据，那么我们可以将二维数组优化成一维数组，利用一维数组里原本存储的第 i-1 行的数据，我们可以推算出第 i 行的数据，依次类推可以一直算到题目要求的 M 行。

再观察可知，某一行第 j 列的数据只与上一行的 j-1~0 列的数据有关（由dp[i - 1][ j - times[i] ]得）

那么我们得到了第 i-1 行的数据，计算第 i 行数据的时候，必须避免覆盖掉前面 j-1 列的数据，否则得不出正确答案。为了实现这一要求，我们对一维数组遍历的时候要从后往前遍历，这样对于每个元素dp[i][ j]而言，前 j-1 列的数据均被保留，那么dp[i - 1][j]和dp[i - 1][ j - times[i] ] + val[i]都能计算出来，就可以计算dp[i][  j]。

#include
using namespace std;
int dp[1005] = { 0 };
int times[105] = { 0 };
int val[105] = { 0 };

int main()
{
	int T, M;
	cin >> T >> M;
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
		cin >> times[i] >> val[i];
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
	{
		for (int j = T; j >= 1; --j)
		{
			if (times[i] <= j)
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - times[i]] + val[i]);
		}
	}
	cout << dp[T];
	return 0;
}