秦九韶的高次方程

朋友们，大家好！

        公元1819 年7 月1 日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动。

        由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推进作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”。但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15 年前就得到了同样的方法，只是没有及时地报道罢了。因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”。于是英、意双方开始了喋喋不休的争论。正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来。争论双方问他，为何这般嘲笑。这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说道：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作‘秦九韶方法’”。他们这才知道，早在570 多年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法。双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了。

         秦九韶，生于1202 年，南宋普州安岳（今四川安岳）人。他自幼随做官的父亲周游过许多地方。20 岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安（今杭州）。秦九韶被父亲送到掌管天文历法的大史院学习。在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处。

        后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁。他在这种动乱的环境中度过他的壮年。后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关。

        过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年。正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》。

      《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81 道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题。在这81 道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法。正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项。

        高次方程就是未知数的最高次幂在3 次以上的。对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式。那么用什么办法来解决呢？秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可。除了高次幂方程的解法之外，这本书中的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作。什么叫同余式呢？

        我们还是从“韩信点兵”的故事来说起：

        传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹。韩信问带兵的军官：“你们这里共有多少士兵？”军官说：“人太多太乱，数不准确。”

       韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数。”

      军官一听，慌忙将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队。”

       韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1 到3 报数，再从1 到5报数，最后从1 到7 报数。报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数。

       于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2；第2 报数后余3，第3 报数后余2，韩信掐指一算，共计233 人。

       其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4 世纪的数学著作《孙子算经》中。原来的问题是这样表述的：

      “有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何？”

        这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，X 为3 人一数的次数，Y 为5 人一数的次数，Z 为7 人一数的次数，则：

             N=3x+2 N=5y+3 N=7z+2

       三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程。解不定方程在现代数论中有一个著名定理：剩余定理。

        但这个问题出现在公元4 世纪的中国算书中，他们虽然给出了算法，但却没有明确地表述和证明这个定理。到公元13 世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的成果。

       什么叫同余式呢？在上面的故事中，如果三人一组剩2 人，那么总人数可能是5、是8、也可能是11⋯⋯。换句话说，5、8、11⋯⋯这些数被3 除后余数相等，那么我们就说5、8、11⋯⋯等数对于3 是同余的，用数学符号写出来就是5≡8≡11（mod3），这个式子叫同余式。

       秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史局学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满解决了韩信点兵之类问题。

      秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人。他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式：

        秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新。他是世界上最伟大数学家之一，《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰。