数学知识-数论分块

整数分块

求${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

性质1:分块的块数<=$2\lfloor \sqrt{n}\rfloor$

当$i<=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$时，$\lfloor \frac{n}{l}\rfloor$有$\lfloor \sqrt{n}\rfloor$种取法

当$i>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$时，$\lfloor \sqrt{\frac{n}{i}}\rfloor <=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，最多也是$\sqrt{n}种$取法

性质2:l所在块的右端点为$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$

[CQOI2007] 余数求和

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P2261

给出正整数 $n$ 和 $k$，请计算

$$G(n,k)=\sum _{i=1}^{n}k\mathrm{mod}i$$

其中 $k\mathrm{mod}i$ 表示 $k$ 除以 $i$ 的余数。

输入格式

输入只有一行两个整数，分别表示 $n$ 和 $k$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

10 5

样例输出 #1

29

提示

样例 1 解释

$G(10,5)=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29$。

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n,k\le 10^3$。
• 对于 $60\%$ 的数据，保证 $n,k\le 10^6$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n,k\le 10^9$。

代码

#include 

using namespace std;
#define int long  long

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("../test.in", "r", stdin);
    freopen("../test.out", "w", stdout);
#endif
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int res = n * k;
    int r;
    for (int l = 1; l <= n; l = r + 1) {
        if (k / l == 0) break;
        r = min(k / (k / l), n);
        res -= (k / l) * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

Strange Function

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1542C

题面翻译

记 $f(i)$ 为最小的正整数数 $x$ 满足 $x$ 不是 $i$ 的因子。

现给出正整数 $n$，请计算出 ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$ 模 $10^9+7$ 的值。上述式子等价于 $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)$。

本题含多组数据。令数据组数为 $t$，那么有 $1\le t\le 10^4$，$1\le n\le 10^{16}$

题目描述

Let $ f(i) $ denote the minimum positive integer $ x $ such that $ x $ is not a divisor of $ i $ .

Compute $ \sum_{i=1}^n f(i) $ modulo $ 10^9+7 $ . In other words, compute $ f(1)+f(2)+\dots+f(n) $ modulo $ 10^9+7 $ .

输入格式

The first line contains a single integer $ t $ ( $ 1\leq t\leq 10^4 $ ), the number of test cases. Then $ t $ cases follow.

The only line of each test case contains a single integer $ n $ ( $ 1\leq n\leq 10^{16} $ ).

输出格式

For each test case, output a single integer $ ans $ , where $ ans=\sum_{i=1}^n f(i) $ modulo $ 10^9+7 $ .

样例 #1

样例输入 #1

6
1
2
3
4
10
10000000000000000

样例输出 #1

2
5
7
10
26
366580019

提示

In the fourth test case $ n=4 $ , so $ ans=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) $ .

• $ 1 $ is a divisor of $ 1 $ but $ 2 $ isn’t, so $ 2 $ is the minimum positive integer that isn’t a divisor of $ 1 $ . Thus, $ f(1)=2 $ .
• $ 1 $ and $ 2 $ are divisors of $ 2 $ but $ 3 $ isn’t, so $ 3 $ is the minimum positive integer that isn’t a divisor of $ 2 $ . Thus, $ f(2)=3 $ .
• $ 1 $ is a divisor of $ 3 $ but $ 2 $ isn’t, so $ 2 $ is the minimum positive integer that isn’t a divisor of $ 3 $ . Thus, $ f(3)=2 $ .
• $ 1 $ and $ 2 $ are divisors of $ 4 $ but $ 3 $ isn’t, so $ 3 $ is the minimum positive integer that isn’t a divisor of $ 4 $ . Thus, $ f(4)=3 $ .

Therefore, $ ans=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+3+2+3=10 $ .

思路

因为$f[i]=x$,即$x$是最小的不可以被$i$整除的数，那么$1,2,\mathrm{3...}x-1$一定都是可以被$i$整除的

因此$i可以整除lcm(1,2,\mathrm{3...}x-1)$，并且$i不可以整除lcm(1,2,\mathrm{3....}x-1,x).$

因为$f[i]=x$,这里的$x$不会很大，估计不超过80，可以打表算一下$x=lcm(1,2,\mathrm{3..})$

所以我们可以考虑使用数论分块的思想，根据$x$的值，算有多少个数，满足$f[i]=x$.,假设有$num$个，那么对答案的贡献就是$num\ast x$

如何算有多少个呢？等于满足条件的数-不满足条件的数

$num=\frac{n}{lcm(1,2,\mathrm{3...}x-1)}-\frac{n}{lcm(1,2,\mathrm{3...}x)}$

设$t=lcm(1,2,\mathrm{3...}x-1)$

则$num=\frac{n}{t}-\frac{n}{lcm(t,i)}$

代码

#include 

#define int long long
#define yes cout << "YES" << endl;
#define no cout << "NO" << endl;
#define IOS cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
#define cxk 1
#define debug(s, x) if (cxk) cout << "#debug:(" << s << ")=" << x << endl;
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    int cur = 1;
    for (int i = 2;; i++) {
        int t = i * (n / cur - n / lcm(cur, i));
        t %= mod;
        res = (res + t) % mod;
        cur = lcm(cur, i);
        if (cur > n) break;
    }
    cout << res << endl;
}

signed main() {
    IOS
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("../test.in", "r", stdin);
    freopen("../test.out", "w", stdout);
#endif
    int _ = 1;
    cin >> _;
    while (_--) solve();
    return 0;
}